Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
10152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 25, 13, 10, 45, 39, 58.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 106?

μ = 100σ = 15x = 106
P =
3.KebarangkalianSederhana
n = 15k = 3N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 15? Susunan tidak penting.

n = 15k = 3
N =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)10.320.1530.3540.2μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.35, 0.2Y = 3X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
72 kg75.9 kgT = X₁ + … + X₆?

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya di bawah 75.9 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6< 75.9 kg
P =
6.Taburan normalSukar
10 g0X − Y?

Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang keyakinanSederhana
n = 30, s = 8LU = ?x̄ = 115.5E90%

Satu sampel 30 item mempunyai min 115.5 dan sisihan piawai s = 8. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 30x̄ = 115.5s = 890%t(29) = 1.699
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Sisihan piawai populasi ialah 28. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 28E = 299%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−1.961.96z = ?

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 92 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 4 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 90.1 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 100x̄₁ = 92 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 60x̄₂ = 90.1 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −2.57602.576

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 121.2. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 121.2σ = 5n = 10099%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy2841361782010221229xy510102030

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy34455275795911651374xy510506070x = 8

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 8.

n = 6x = 8
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.91

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 190/6 = 31.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−6.667)² + (−18.67)² + (−21.67)² + 13.33² + 7.333² + 26.33² = 1787

Sisihan piawai

s = √(1787/5) = 18.91

Jawapan

s = 18.91
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.6554

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 0.4

Jadual normal piawai

Φ(0.4) = 0.6554
P = 0.6554

Jawapan

P = 0.6554
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 455

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Jawapan

N = 455
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 3.351

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.45, Var(X) = 1.247, σX = 1.117

Perubahan linear

σY = |3|·1.117 = 3.351

Jawapan

σY = 3.351

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.45 + 20 = 27.35.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9767

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 72 kg, σT = 0.8·√6 = 1.96 kg

Piawaikan

z = (75.9 − 72)/1.96 = 1.99

Kebarangkalian

P = Φ(1.99) = 0.9767

Jawapan

P = 0.9767
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8413

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Piawaikan

z = (0 − 10)/10 = −1

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413
7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 118

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 1.699

Margin ralat

E = 1.699·8/√30 = 2.482

Selang

115.5 ± 2.482 → [113, 118]

Jawapan

had atas = 118
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1301

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·28/2)² = 1301

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1301

Jawapan

n = 1301
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.8058

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(4²/100 + 18²/60) = √5.56 = 2.358

Statistik ujian

z = (92 − 90.1)/2.358 = 0.8058

Jawapan

z = 0.8058

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 122.5

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·5/√100 = 1.288

Had selang

U = 121.2 + 1.288 = 122.5

Jawapan

U = 122.5
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9757

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 135
Syy = Σ(y − ȳ)² = 266.8

Pekali penentuan

r² = 135²/(70·266.8) = 0.9757

Jawapan

r² = 0.9757

Kira-kira 97.57% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 58.5

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 351/6 = 58.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 191

Garis regresi

b = 191/70 = 2.729
a = 58.5 − 2.729·8 = 36.67
ŷ = 36.67 + 2.729·x

Ramalan

ŷ = 36.67 + 2.729·8 = 58.5

Jawapan

ŷ = 58.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1