Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 19, 41, 29, 13.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 37.5.

μ = 60σ = 15x = 37.5
z =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 5biru: 3

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 3
P =
4.KebarangkalianSukar
n = 7, p = 0.4: P(X ≤ 1) = ?k01234567

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.4
P =
5.Taburan normalSederhana
105 s95.4 sX + Y?

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 95.4 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 95.4 s
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 100x = ?20%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 100σ = 15P = 20%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 16, s = 8L = ?Ux̄ = 73E90%

Satu sampel 16 item mempunyai min 73 dan sisihan piawai s = 8. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 16x̄ = 73s = 890%t(15) = 1.753
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?

σ = 26E = 590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.13102.131

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 57.2 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 57.2s = 12n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2? Sisihan piawai ialah 12. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 12E = 299%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy335444552656764871xy4684060

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy244861581810261229xy510102030x = 7

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (7, 19) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(7, 19)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.64

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 159/5 = 31.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 25.2² + (−12.8)² + 9.2² + (−2.8)² + (−18.8)² = 1245

Sisihan piawai

s = √(1245/4) = 17.64

Jawapan

s = 17.64
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.5

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (37.5 − 60)/15 = −1.5

Jawapan

z = −1.5
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3571

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0.3571

Jawapan

P = 0.3571
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1586

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.67 = 0.02799
P(X = 1) = 7·0.4·0.66 = 0.1306

Tambahkannya

P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586

Jawapan

P = 0.1586
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
6.Taburan normal

Jawapan: x = 87.38 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 markah

Jawapan

x = 87.38 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 69.49

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 1.753

Margin ralat

E = 1.753·8/√16 = 3.506

Selang

73 ± 3.506 → [69.49, 76.51]

Jawapan

had bawah = 69.49
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 74

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·26/5)² = 73.17

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 74

Jawapan

n = 74
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Statistik ujian

t = (57.2 − 50)/3 = 2.4

Jawapan

t = 2.4
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 239

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (2.576·12/2)² = 238.9

Bundarkan ke atas

n = 239

Jawapan

n = 239
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.996

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 322/6 = 53.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Syy = Σ(y − ȳ)² = 857.3

Pekali korelasi

r = 122/√(17.5·857.3) = 0.996

Jawapan

r = 0.996
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.333

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 100/6 = 16.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182

Garis regresi

b = 182/70 = 2.6
a = 16.67 − 2.6·7 = −1.533
ŷ = −1.533 + 2.6·x

Nilai ramalan

ŷ = −1.533 + 2.6·7 = 16.67

Reja

e = 19 − 16.67 = 2.333

Jawapan

e = 2.333

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1