Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 15, 38, 57, 23, 30.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 55?
μ = 70σ = 10x = 55
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 5p = 0.1k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 96.25 dan 108.25 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 100σ = 15x1 = 96.25x2 = 108.25
P =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).
μ = 65σ = 10P = 95%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 6.6. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 576 cerapan?
90%n₁ = 64E₁ = 6.6n₂ = 576
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 10.4 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.
n = 16s = 10.4 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 101 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101s = 15n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 73.7. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 73.7σ = 4n = 6495%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 23) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(3.5, 23)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.07
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 163/5 = 32.6
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−17.6)² + 5.4² + 24.4² + (−9.6)² + (−2.6)² = 1033
Sisihan piawai
s = √(1033/4) = 16.07
Jawapan
s = 16.07
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.9332
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1.5
Jadual normal piawai
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332
Jawapan
P = 0.9332
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 0.6475
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
Varians
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
Jawapan
Var(X) = 0.6475
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.0729
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 10·0.12·0.93 = 10·0.01·0.729 = 0.0729
Jawapan
P = 0.0729
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.3075
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25
z₂ = (108.25 − 100)/15 = 0.55
Luas antara
P = Φ(0.55) − Φ(−0.25) = 0.7088 − 0.4013 = 0.3075
Jawapan
P = 0.3075
6.Taburan normal
Jawapan: x = 81.45 markah
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
Kembali kepada x
x = 65 + 1.645·10 = 81.45 markah
Jawapan
x = 81.45 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 2.2
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(64/576) = 0.3333
Margin baharu
E₂ = 6.6·0.3333 = 2.2
Jawapan
E₂ = 2.2
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 7.683 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 15·10.4² = 1622
Had bagi σ²
1622/27.488 = 59.02
1622/6.262 = 259.1
Had bagi σ
σ = √59.02 = 7.683 µm
Jawapan
σ = 7.683 µm
Selang 95% bagi σ: [7.683, 16.1] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.6667
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 15/√100 = 15/10 = 1.5
Statistik ujian
t = (101 − 100)/1.5 = 0.6667
Jawapan
t = 0.6667
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 72.72
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·4/√64 = 0.98
Had selang
L = 73.7 − 0.98 = 72.72
Jawapan
L = 72.72
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9838
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 103/5 = 20.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128
Syy = Σ(y − ȳ)² = 423.2
Pekali korelasi
r = 128/√(40·423.2) = 0.9838
Jawapan
r = 0.9838
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 4.6
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24
Garis regresi
b = −24/10 = −2.4
a = 19.6 − (−2.4)·3 = 26.8
ŷ = 26.8 − 2.4·x
Nilai ramalan
ŷ = 26.8 + (−2.4)·3.5 = 18.4
Reja
e = 23 − 18.4 = 4.6
Jawapan
e = 4.6
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1