Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 41, 24, 27, 13.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 50. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 575?

μ = 500σ = 50x = 575

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 6 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 6

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.35, 0.05Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.3688. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.3688

z =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 40% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g40%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 128.5 j, sisihan piawai diketahui 11 j. Model 2: 50 telefon, min 118 j, sisihan piawai diketahui 4 j. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 128.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 50x̄₂ = 118 hσ₂ = 4 h95%

had bawah = h

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 8.1 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.

n = 16s = 8.1 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 116.9 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116.9s = 20n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 5E = 390%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.99

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 132/5 = 26.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.6² + 14.6² + (−2.4)² + 0.6² + (−13.4)² = 399.2

Sisihan piawai

s = √(399.2/4) = 9.99

Jawapan

s = 9.99

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.6651

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

Jawapan

P = 0.6651

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.615

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.2, Var(X) = 0.76, σ_X = 0.8718

Perubahan linear

σ_Y = |3|·0.8718 = 2.615

Jawapan

σ_Y = 2.615

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.2 + 1 = 7.6.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.48

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.3688)/2 = 0.6844

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.6844 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.48

Jawapan

z = 0.48

6.Taburan normal

Jawapan: x = 251.3 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.6

z daripada jadual

z ≈ 0.25

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 0.25·5 = 251.3 g

Jawapan

x = 251.3 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 7.847 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 128.5 − 118 = 10.5

Ralat piawai

SE = √(11²/80 + 4²/50) = 1.354

Margin ralat

E = 1.96·1.354 = 2.653

Selang

10.5 ± 2.653 → [7.847, 13.15]

Jawapan

had bawah = 7.847 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 5.984 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 15·8.1² = 984.1

Had bagi σ²

984.1/27.488 = 35.8

984.1/6.262 = 157.2

Had bagi σ

σ = √35.8 = 5.984 µm

Jawapan

σ = 5.984 µm

Selang 95% bagi σ: [5.984, 12.54] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.395

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222

Statistik ujian

t = (116.9 − 120)/2.222 = −1.395

Jawapan

t = −1.395

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 8

Selesaikan untuk n

n = (1.645·5/3)² = 7.517

Bundarkan ke atas

n = 8

Jawapan

n = 8

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9178

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 86/5 = 17.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 62.8

Pekali korelasi

r = −23/√(10·62.8) = −0.9178

Jawapan

r = −0.9178

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 35.2

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 161/5 = 32.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Garis regresi

b = 120/40 = 3

a = 32.2 − 3·5 = 17.2

ŷ = 17.2 + 3·x

Ramalan

ŷ = 17.2 + 3·6 = 35.2

Jawapan

ŷ = 35.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1