Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
10152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 56, 18, 46, 59, 10, 46, 56.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 158.

μ = 170σ = 12x = 158
z =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)10.3520.2530.0540.0550.3μ = 2.7

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.05, 0.3
σ =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−10.8910.190.01

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €2 dengan kebarangkalian 0.1 dan €10 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€2: p = 0.1€10: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
65.585P = ?

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 65.5 dan 85 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x1 = 65.5x2 = 85
P =
6.Taburan normalSukar
380420460500540580620hatas 85%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 85% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, s = 9LU = ?x̄ = 52E99%

Satu sampel 20 item mempunyai min 52 dan sisihan piawai s = 9. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 20x̄ = 52s = 999%t(19) = 2.861
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
μ₁ − μ₂, t(14) = 1.7610LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 7 petak, min hasil 96 kg, sisihan piawai 6.5 kg. Kumpulan petak 2: 9 petak, min 107.5 kg, sisihan piawai 9 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 96s₁ = 6.5n₂ = 9x̄₂ = 107.5s₂ = 990%t(14) = 1.761
E = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−1.46p = ?

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 18. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 77.81. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 18n = 144x̄ = 77.81H₁: μ < μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
μ₀x̄c

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 104.35. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 104.35σ = 12n = 64α = 0.10
β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy128222320420514612xy246152025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 116Σx² = 91Σy² = 2408Σxy = 354
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy264166218281034xy510102030x = 9

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.

n = 5x = 9
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.63

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 291/7 = 41.57

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.43² + (−23.57)² + 4.429² + 17.43² + (−31.57)² + 4.429² + 14.43² = 2312

Sisihan piawai

s = √(2312/6) = 19.63

Jawapan

s = 19.63
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (158 − 170)/12 = −1

Jawapan

z = −1
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.676

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.25 + 3·0.05 + 4·0.05 + 5·0.3 = 2.7

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.25 + 9·0.05 + 16·0.05 + 25·0.3 = 10.1

Varians

Var(X) = 10.1 − 2.7² = 2.81
σ = √2.81 = 1.676

Jawapan

σ = 1.676
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.7 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 1 (p = 0.1), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.89)

Nilai jangkaan

E(G) = 1·0.1 + 9·0.01 − 1·0.89 = −0.7 €

Jawapan

E(G) = −0.7 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4573

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05
z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(0.05) = 0.9772 − 0.5199 = 0.4573

Jawapan

P = 0.4573
6.Taburan normal

Jawapan: x = 458 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.15

z daripada jadual

z ≈ −1.04

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

Jawapan

x = 458 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 57.76

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 2.861

Margin ralat

E = 2.861·9/√20 = 5.758

Selang

52 ± 5.758 → [46.24, 57.76]

Jawapan

had atas = 57.76
8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.121 kg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

sp² = (6·6.5² + 8·9²)/14 = 64.39
sp = 8.025

Margin ralat

E = 1.761·8.025·√(1/7 + 1/9) = 7.121

Jawapan

E = 7.121 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.07215

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 18/√144 = 1.5
z = (77.81 − 80)/1.5 = −1.46

Luas ekor

Φ(1.46) = 0.9279
1 − Φ(1.46) = 0.0721

Nilai-p

p = 0.07215

Jawapan

p = 0.07215

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 5.283 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12/√64 = 1.5
x̄c = 100 + 1.282·1.5 = 101.9

z di bawah min sebenar

z = (101.9 − 104.35)/1.5 = −1.618

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z > −1.618) = 94.72%
β = 100% − 94.72% = 5.283%

Jawapan

β = 5.283%
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9667

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 354 − 21·116/6 = −52
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 2408 − 116²/6 = 165.3

Pekali korelasi

r = −52/√(17.5·165.3) = −0.9667

Jawapan

r = −0.9667
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 31.2

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 105/5 = 21

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Garis regresi

b = 136/40 = 3.4
a = 21 − 3.4·6 = 0.6
ŷ = 0.6 + 3.4·x

Ramalan

ŷ = 0.6 + 3.4·9 = 31.2

Jawapan

ŷ = 31.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1