Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 50, 10, 34, 34, 23, 15.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 387.5?

μ = 500σ = 75x = 387.5

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.3, 0.3, 0.05

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 5p = 0.2k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 25.1 dan 44.3 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 25.1x₂ = 44.3

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 65σ = 10P = 5%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 19.5 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 16x̄ = 19.5s = 3.595%t(15) = 2.131

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 15. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 15E = 399%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 24. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 106.3. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100. Cari nilai-p p.

μ₀ = 100σ = 24n = 64x̄ = 106.3H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 21. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 80%δ = 2.5σ = 21z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 17?

n = 6ŷ = 17

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.65

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 166/6 = 27.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 22.33² + (−17.67)² + 6.333² + 6.333² + (−4.667)² + (−12.67)² = 1073

Sisihan piawai

s = √(1073/5) = 14.65

Jawapan

s = 14.65

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 84.75

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.35 + 20·0.3 + 30·0.3 + 40·0.05 = 20.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.35 + 400·0.3 + 900·0.3 + 1600·0.05 = 505

Varians

Var(X) = 505 − 20.5² = 84.75

Jawapan

Var(X) = 84.75

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0064

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 4) = 5·0.2⁴·0.8¹ = 5·0.0016·0.8 = 0.0064

Jawapan

P = 0.0064

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8547

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−1.15) = 0.9798 − 0.1251 = 0.8547

Jawapan

P = 0.8547

6.Taburan normal

Jawapan: x = 48.55 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 65 + −1.645·10 = 48.55 markah

Jawapan

x = 48.55 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 1.865

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.131

Margin ralat

E = 2.131·3.5/√16 = 1.865

Jawapan

E = 1.865

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 166

Selesaikan untuk n

n = (2.576·15/3)² = 165.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 166

Jawapan

n = 166

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.01786

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (106.3 − 100)/3 = 2.1

Luas ekor

Φ(2.1) = 0.9821

1 − Φ(2.1) = 0.0179

Nilai-p

p = 0.01786

Jawapan

p = 0.01786

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 709

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 0.842)·21/2.5)² = 708.2

Bundarkan ke atas

n = 709

Jawapan

n = 709

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9328

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 351/5 = 70.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 174.8

Pekali korelasi

r = 39/√(10·174.8) = 0.9328

Jawapan

r = 0.9328

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.253

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 110/6 = 18.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Garis regresi

b = −31/17.5 = −1.771

a = 18.33 − (−1.771)·3.5 = 24.53

ŷ = 24.53 − 1.771·x

Selesaikan untuk x

x = (17 − 24.53)/(−1.771) = 4.253

Jawapan

x = 4.253

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1