Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 25, 38, 23, 58, 44, 56.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 27.5.

μ = 50σ = 15x = 27.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.3, 0.1, 0.3, 0.1

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 10. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya melebihi 1082 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1082 kg

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 10 item mempunyai min 62.5 dan sisihan piawai s = 17. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 10x̄ = 62.5s = 1799%t(9) = 3.25

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 17. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 17E = 0.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 80 bahagian mempunyai min panjang 59.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 18 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 68.2 mm, sisihan piawai diketahui 16 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 80x̄₁ = 59.5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 40x̄₂ = 68.2 mmσ₂ = 16 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 30. Pada hakikatnya min ialah 493.7. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 500μ = 493.7σ = 30n = 100α = 0.05

β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 346Σx² = 91Σy² = 20726Σxy = 1327

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (11, 36) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(11, 36)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.91

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 244/6 = 40.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−15.67)² + (−2.667)² + (−17.67)² + 17.33² + 3.333² + 15.33² = 1111

Sisihan piawai

s = √(1111/5) = 14.91

Jawapan

s = 14.91

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.5

Piawaikan

z = (27.5 − 50)/15 = −1.5

Jawapan

z = −1.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.76

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.2 + 2·0.3 + 3·0.1 + 4·0.3 + 5·0.1 = 2.8

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.3 + 9·0.1 + 16·0.3 + 25·0.1 = 9.6

Varians

Var(X) = 9.6 − 2.8² = 1.76

Jawapan

Var(X) = 1.76

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 1.609

Serakan X

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·0.8047 = 1.609

Jawapan

σ_Y = 1.609

Min memang berubah: E(Y) = −2·0.95 + 10 = 8.1.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.06681

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41.57 kg

Piawaikan

z = (1082 − 1020)/41.57 = 1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

6.Taburan normal

Jawapan: x = 119.2 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 markah

Jawapan

x = 119.22 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 17.47

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 3.25

Margin ralat

E = 3.25·17/√10 = 17.47

Jawapan

E = 17.47

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 7671

Selesaikan untuk n

n = (2.576·17/0.5)² = 7671

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 7671

Jawapan

n = 7671

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −2.691

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(18²/80 + 16²/40) = √10.45 = 3.233

Statistik ujian

z = (59.5 − 68.2)/3.233 = −2.691

Jawapan

z = −2.691

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 32.46 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 − 1.645·3 = 495.1

z di bawah min sebenar

z = (495.1 − 493.7)/3 = 0.455

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < 0.455) = 67.54%

β = 100% − 67.54% = 32.46%

Jawapan

β = 32.46%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9971

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1327 − 21·346/6 = 116

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 20726 − 346²/6 = 773.3

Pekali korelasi

r = 116/√(17.5·773.3) = 0.9971

Jawapan

r = 0.9971

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.8

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 168/6 = 28

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224

Garis regresi

b = 224/70 = 3.2

a = 28 − 3.2·7 = 5.6

ŷ = 5.6 + 3.2·x

Nilai ramalan

ŷ = 5.6 + 3.2·11 = 40.8

Reja

e = 36 − 40.8 = −4.8

Jawapan

e = −4.8

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1