Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 47, 36, 14, 21, 53, 31, 28.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 173?

μ = 170σ = 5x = 173

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.15, 0.35, 0.25

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

8 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 8p = 0.3

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 110.1 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110.1 s

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 10% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h10%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 68.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Model 2: 100 telefon, min 83.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 68.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 83.5 hσ₂ = 13 h90%

had bawah = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 11 petak, min hasil 30.5 kg, sisihan piawai 5.5 kg. Kumpulan petak 2: 15 petak, min 26.5 kg, sisihan piawai 8.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 30.5s₁ = 5.5n₂ = 15x̄₂ = 26.5s₂ = 8.599%t(24) = 2.797

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 118.4 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118.4s = 8n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 497.6. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 500μ = 497.6σ = 10n = 100α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 36Σy = 431Σx² = 286Σy² = 32545Σxy = 2915

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5, 16) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(5, 16)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.78

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 230/7 = 32.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.14² + 3.143² + (−18.86)² + (−11.86)² + 20.14² + (−1.857)² + (−4.857)² = 1139

Sisihan piawai

s = √(1139/6) = 13.78

Jawapan

s = 13.78

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 124

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.25 + 20·0.15 + 30·0.35 + 40·0.25 = 26

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.15 + 900·0.35 + 1600·0.25 = 800

Varians

Var(X) = 800 − 26² = 124

Jawapan

Var(X) = 124

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2553

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.7⁸ = 0.05765

P(X = 1) = 8·0.3·0.7⁷ = 0.1977

Tambahkannya

P = 0.05765 + 0.1977 = 0.2553

Jawapan

P = 0.2553

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2119

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (110.1 − 105)/6.403 = 0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

6.Taburan normal

Jawapan: x = 449 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.1

z daripada jadual

z ≈ −1.28

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.28·40 = 449 h

Jawapan

x = 449 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −18.39 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 68.5 − 83.5 = −15

Ralat piawai

SE = √(16²/100 + 13²/100) = 2.062

Margin ralat

E = 1.645·2.062 = 3.391

Selang

−15 ± 3.391 → [−18.39, −11.61]

Jawapan

had bawah = −18.39 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 12.22 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (10·5.5² + 14·8.5²)/24 = 54.75

s_p = 7.399

Margin ralat

E = 2.797·7.399·√(1/11 + 1/15) = 8.215

Selang

4 ± 8.215 → [−4.215, 12.22]

Jawapan

had atas = 12.22 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

Statistik ujian

t = (118.4 − 120)/0.8889 = −1.8

Jawapan

t = −1.8

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 77.49 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 500 − 1.645·1 = 498.4

z di bawah min sebenar

z = (498.4 − 497.6)/1 = 0.755

Kuasa

kuasa = P(Z < 0.755) = 77.49%

1 − β = 77.49%

Jawapan

1 − β = 77.49%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9878

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2915 − 36·431/6 = 329

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 32545 − 431²/6 = 1585

Pekali korelasi

r = 329/√(70·1585) = 0.9878

Jawapan

r = 0.9878

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.071

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 105/6 = 17.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 125

Garis regresi

b = 125/70 = 1.786

a = 17.5 − 1.786·7 = 5

ŷ = 5 + 1.786·x

Nilai ramalan

ŷ = 5 + 1.786·5 = 13.93

Reja

e = 16 − 13.93 = 2.071

Jawapan

e = 2.071

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1