Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
1015202530354045505560

Cari sisihan piawai sampel s data: 43, 45, 29, 60, 10, 13.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 122.5?

μ = 100σ = 15x = 122.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
n = 7k = 5N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 7? Susunan tidak penting.

n = 7k = 5
N =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)100.3200.35300.15400.2μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 1. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.35, 0.15, 0.2Y = −2X + 1
σY =
5.Taburan normalSederhana
200 mm200.4 mmX + Y?

X normal dengan min 120 mm dan sisihan piawai 0.3 mm; Y tak bersandar dan normal dengan min 80 mm dan sisihan piawai 0.4 mm. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 200.4 mm. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.4 mm
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?5%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 32σ = 6P = 5%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 59 j, sisihan piawai diketahui 18 j. Model 2: 50 telefon, min 60 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 59 hσ₁ = 18 hn₂ = 50x̄₂ = 60 hσ₂ = 16 h99%
E = h
8.Selang keyakinanSukar
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 595%

Sisihan piawai populasi ialah 24. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?

σ = 24E = 595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.0302.03

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 72.75 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 72.75s = 15n = 36
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 501.2. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 501.2σ = 8n = 10090%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy130226325421524618xy246202530

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy14561764208023842695xy1520256080x = 15.5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (15.5, 63) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(15.5, 63)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.58

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 200/6 = 33.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.667² + 11.67² + (−4.333)² + 26.67² + (−23.33)² + (−20.33)² = 1917

Sisihan piawai

s = √(1917/5) = 19.58

Jawapan

s = 19.58
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 21

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Jawapan

N = 21
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 21.79

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 22.5, Var(X) = 118.8, σX = 10.9

Perubahan linear

σY = |−2|·10.9 = 21.79

Jawapan

σY = 21.79

Min memang berubah: E(Y) = −2·22.5 + 1 = −44.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2119

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

Piawaikan

z = (200.4 − 200)/0.5 = 0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119
6.Taburan normal

Jawapan: x = 22.13 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min

Jawapan

x = 22.13 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.801 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 59 − 60 = −1

Ralat piawai

SE = √(18²/80 + 16²/50) = 3.028

Margin ralat

E = 2.576·3.028 = 7.801

Jawapan

E = 7.801 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 89

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·24/5)² = 88.51

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 89

Jawapan

n = 89
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

Statistik ujian

t = (72.75 − 75)/2.5 = −0.9

Jawapan

t = −0.9
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 502.5

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·8/√100 = 1.316

Had selang

U = 501.2 + 1.316 = 502.5

Jawapan

U = 502.5
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9022

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 144/6 = 24

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Syy = Σ(y − ȳ)² = 86

Pekali korelasi

r = −35/√(17.5·86) = −0.9022

Jawapan

r = −0.9022
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 1.9

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 379/5 = 75.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294

Garis regresi

b = 294/90 = 3.267
a = 75.8 − 3.267·20 = 10.47
ŷ = 10.47 + 3.267·x

Nilai ramalan

ŷ = 10.47 + 3.267·15.5 = 61.1

Reja

e = 63 − 61.1 = 1.9

Jawapan

e = 1.9

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1