Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
2530354045505560

Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 21, 32, 49, 43, 29, 31.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 38?

μ = 50σ = 10x = 38
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 4biru: 9

Sebuah beg mengandungi 4 bebola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

4 / 9
P =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.310.120.3530.25μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.25Y = 3X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
240 g235.6 gT = X₁ + … + X₆?

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 235.6 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 6> 235.6 g
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 178x = ?90%

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
x̄E₁ = 4.290%, n = 36x̄E₂ = ?95%, n = 324

Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 36 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 4.2. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% berdasarkan 324 cerapan?

90%n₁ = 36E₁ = 4.295%n₂ = 324
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 19, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

Sisihan piawai populasi ialah 19. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 19E = 0.590%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.9901.99

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 499 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499s = 4n = 81
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 8. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 8E = 2.595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy12422132041351468xy24610152025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 100Σx² = 91Σy² = 1846Σxy = 296
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy3545667809831110213106xy5106080100x = 6

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (6, 74) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(6, 74)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.45

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 265/7 = 37.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 22.14² + (−16.86)² + (−5.857)² + 11.14² + 5.143² + (−8.857)² + (−6.857)² = 1085

Sisihan piawai

s = √(1085/6) = 13.45

Jawapan

s = 13.45
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8849

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1.2

Jadual normal piawai

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.07692

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/13 · 3/12 = 12/156 = 0.07692

Jawapan

P = 0.07692
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 3.482

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.55, Var(X) = 1.348, σX = 1.161

Perubahan linear

σY = |3|·1.161 = 3.482

Jawapan

σY = 3.482

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.55 + 10 = 14.65.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 240 g, σT = 1.2·√6 = 2.939 g

Piawaikan

z = (235.6 − 240)/2.939 = −1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
6.Taburan normal

Jawapan: x = 187 cm

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 178 + 1.282·7 = 186.97 cm

Jawapan

x = 186.97 cm
7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 1.668

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/324) = 0.3972

Margin baharu

E₂ = 4.2·0.3972 = 1.668

Jawapan

E₂ = 1.668
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 3908

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·19/0.5)² = 3908

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 3908

Jawapan

n = 3908
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.25

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

Statistik ujian

t = (499 − 500)/0.4444 = −2.25

Jawapan

t = −2.25
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| > 1.99, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 40

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.96·8/2.5)² = 39.34

Bundarkan ke atas

n = 40

Jawapan

n = 40
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9639

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 296 − 21·100/6 = −54
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 1846 − 100²/6 = 179.3

Pekali korelasi

r = −54/√(17.5·179.3) = −0.9639

Jawapan

r = −0.9639
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.767

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 491/6 = 81.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 371

Garis regresi

b = 371/70 = 5.3
a = 81.83 − 5.3·8 = 39.43
ŷ = 39.43 + 5.3·x

Nilai ramalan

ŷ = 39.43 + 5.3·6 = 71.23

Reja

e = 74 − 71.23 = 2.767

Jawapan

e = 2.767

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1