Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 11, 23, 22, 30, 10.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 82.5?

μ = 60σ = 15x = 82.5

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 11p = 0.5k = 1

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 247.75 dan 259.25 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 247.75x₂ = 259.25

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 66 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Model 2: 100 telefon, min 51 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 66 hσ₁ = 13 hn₂ = 100x̄₂ = 51 hσ₂ = 13 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p = 0.5E = 0.0290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 105.8 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 105.8s = 12n = 36

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 96.8. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 96.8σ = 15n = 8195%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 36Σy = 434Σx² = 286Σy² = 32262Σxy = 2844

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 44?

n = 5ŷ = 44

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.482

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 129/6 = 21.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 11.5² + (−10.5)² + 1.5² + 0.5² + 8.5² + (−11.5)² = 449.5

Sisihan piawai

s = √(449.5/5) = 9.482

Jawapan

s = 9.482

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.51

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.7

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.35 = 8.8

Varians

Var(X) = 8.8 − 2.7² = 1.51

Jawapan

Var(X) = 1.51

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.005371

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 11·0.5¹·0.5¹⁰ = 11·0.5·0.0009766 = 0.005371

Jawapan

P = 0.005371

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6415

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45

z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85

Luas antara

P = Φ(1.85) − Φ(−0.45) = 0.9678 − 0.3264 = 0.6415

Jawapan

P = 0.6415

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7611

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02828 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.02828 = −0.71

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.71) = 0.7611

Jawapan

P = 0.7611

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 18.6 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 66 − 51 = 15

Ralat piawai

SE = √(13²/100 + 13²/100) = 1.838

Margin ralat

E = 1.96·1.838 = 3.603

Selang

15 ± 3.603 → [11.4, 18.6]

Jawapan

had atas = 18.6 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

Bundarkan ke atas

n = 1692

Jawapan

n = 1692

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistik ujian

t = (105.8 − 100)/2 = 2.9

Jawapan

t = 2.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 100.1

Margin ralat

E = 1.96·15/√81 = 3.267

Had selang

U = 96.8 + 3.267 = 100.1

Jawapan

U = 100.1

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9729

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2844 − 36·434/6 = 240

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 32262 − 434²/6 = 869.3

Pekali korelasi

r = 240/√(70·869.3) = 0.9729

Jawapan

r = 0.9729

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.01

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 294/5 = 58.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

Garis regresi

b = 198/40 = 4.95

a = 58.8 − 4.95·5 = 34.05

ŷ = 34.05 + 4.95·x

Selesaikan untuk x

x = (44 − 34.05)/4.95 = 2.01

Jawapan

x = 2.01

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1