Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 34, 23, 13, 10, 38, 15, 24.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 50. Cari skor-z z bagi skor 475.

μ = 500σ = 50x = 475

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 8

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 10 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 10p = 0.7k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 470 dan 560 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 470x₂ = 560

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 40% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah40%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 25 item mempunyai min 52.5 dan sisihan piawai s = 5.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 25x̄ = 52.5s = 5.599%t(24) = 2.797

E =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 1.3 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.

n = 20s = 1.3 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 125.8 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 125.8s = 20n = 100

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 4 unit dengan kuasa 90%. Sisihan piawai ialah 28. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 90%δ = 4σ = 28z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 110Σy = 396Σx² = 2460Σy² = 32750Σxy = 8946

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 51) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(3.5, 51)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.63

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 157/7 = 22.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 11.57² + 0.5714² + (−9.429)² + (−12.43)² + 15.57² + (−7.429)² + 1.571² = 677.7

Sisihan piawai

s = √(677.7/6) = 10.63

Jawapan

s = 10.63

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (475 − 500)/50 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1282

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0.1282

Jawapan

P = 0.1282

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.001447

Formula binomial

P(X = 2) = 45·0.7²·0.3⁸ = 45·0.49·6.561 × 10⁻⁵ = 0.001447

Jawapan

P = 0.001447

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7066

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (470 − 500)/40 = −0.75

z₂ = (560 − 500)/40 = 1.5

Luas antara

P = Φ(1.5) − Φ(−0.75) = 0.9332 − 0.2266 = 0.7066

Jawapan

P = 0.7066

6.Taburan normal

Jawapan: x = 103.8 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.6

z daripada jadual

z ≈ 0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 markah

Jawapan

x = 103.8 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.077

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 24, t = 2.797

Margin ralat

E = 2.797·5.5/√25 = 3.077

Jawapan

E = 3.077

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 0.9886 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 19·1.3² = 32.11

Had bagi σ²

32.11/32.852 = 0.9774

32.11/8.907 = 3.605

Had bagi σ

σ = √0.9774 = 0.9886 µm

Jawapan

σ = 0.9886 µm

Selang 95% bagi σ: [0.9886, 1.899] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.9

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√100 = 20/10 = 2

Statistik ujian

t = (125.8 − 120)/2 = 2.9

Jawapan

t = 2.9

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 638

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.282)·28/4)² = 637.9

Bundarkan ke atas

n = 638

Jawapan

n = 638

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9935

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 8946 − 110·396/5 = 234

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 32750 − 396²/5 = 1387

Pekali korelasi

r = 234/√(40·1387) = 0.9935

Jawapan

r = 0.9935

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.4

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 312/6 = 52

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77

Garis regresi

b = 77/17.5 = 4.4

a = 52 − 4.4·4.5 = 32.2

ŷ = 32.2 + 4.4·x

Nilai ramalan

ŷ = 32.2 + 4.4·3.5 = 47.6

Reja

e = 51 − 47.6 = 3.4

Jawapan

e = 3.4

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1