Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 10, 28, 37, 58, 47.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 78.

μ = 70σ = 8x = 78

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 4 bebola merah dan 4 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

4 / 4

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.35, 0.2Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8830. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8830

z =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 12 item mempunyai min 35.5 dan sisihan piawai s = 13. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 12x̄ = 35.5s = 1399%t(11) = 3.106

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 35. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 35E = 395%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 50 bahagian mempunyai min panjang 92 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 20 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 84.3 mm, sisihan piawai diketahui 14 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 50x̄₁ = 92 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 60x̄₂ = 84.3 mmσ₂ = 14 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 8. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 8E = 2.599%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.

n = 5x = 3.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.33

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 196/6 = 32.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.67)² + (−22.67)² + (−4.667)² + 4.333² + 25.33² + 14.33² = 1679

Sisihan piawai

s = √(1679/5) = 18.33

Jawapan

s = 18.33

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1

Piawaikan

z = (78 − 70)/8 = 1

Jawapan

z = 1

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2143

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143

Jawapan

P = 0.2143

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.63

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.8, Var(X) = 5.36, σ_X = 2.315

Perubahan linear

σ_Y = |2|·2.315 = 4.63

Jawapan

σ_Y = 4.63

Min memang berubah: E(Y) = 2·2.8 + 5 = 10.6.

5.Taburan normal

Jawapan: z = −1.19

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.8830 = 0.1170

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.1170 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.19

Jawapan

z = −1.19

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9207

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

Jawapan

P = 0.9207

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 23.84

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 11, t = 3.106

Margin ralat

E = 3.106·13/√12 = 11.66

Selang

35.5 ± 11.66 → [23.84, 47.16]

Jawapan

had bawah = 23.84

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 523

Selesaikan untuk n

n = (1.96·35/3)² = 522.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 523

Jawapan

n = 523

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.294

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(20²/50 + 14²/60) = √11.27 = 3.357

Statistik ujian

z = (92 − 84.3)/3.357 = 2.294

Jawapan

z = 2.294

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 68

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (2.576·8/2.5)² = 67.95

Bundarkan ke atas

n = 68

Jawapan

n = 68

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.5494

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 223/5 = 44.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 8

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 21.2

Pekali korelasi

r = 8/√(10·21.2) = 0.5494

Jawapan

r = 0.5494

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 58.2

Min

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 297/5 = 59.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 24

Garis regresi

b = 24/10 = 2.4

a = 59.4 − 2.4·4 = 49.8

ŷ = 49.8 + 2.4·x

Ramalan

ŷ = 49.8 + 2.4·3.5 = 58.2

Jawapan

ŷ = 58.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1