Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 48, 20, 15, 21, 47, 52.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 410?
μ = 500σ = 60x = 410
P =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 3 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 3
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 4. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.25, 0.05, 0.3, 0.1Y = 0.5X + 4
σY =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0166. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.0166
z =
6.Taburan normalSukar
Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 6 item mempunyai min 52.5 dan sisihan piawai s = 1.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.
n = 6x̄ = 52.5s = 1.590%t(5) = 2.015
E =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 7.4 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.
n = 16s = 7.4 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 54.2 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 54.2s = 8n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5? Sisihan piawai ialah 10. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 10E = 1.599%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 171Σx² = 364Σy² = 5975Σxy = 1474
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.
n = 5x = 2.5
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.37
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 235/7 = 33.57
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−1.571)² + 14.43² + (−13.57)² + (−18.57)² + (−12.57)² + 13.43² + 18.43² = 1418
Sisihan piawai
s = √(1418/6) = 15.37
Jawapan
s = 15.37
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −1.5
Jadual normal piawai
Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.4213
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
Jawapan
P = 0.4213
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 0.712
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.65, Var(X) = 2.028, σX = 1.424
Perubahan linear
σY = |0.5|·1.424 = 0.712
Jawapan
σY = 0.712
Min memang berubah: E(Y) = 0.5·2.65 + 4 = 5.325.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.13
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = 1 − 0.0166 = 0.9834
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9834 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.13
Jawapan
z = 2.13
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Piawaikan
z = (0 − 4)/5 = −0.8
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 1.234
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 5, t = 2.015
Margin ralat
E = 2.015·1.5/√6 = 1.234
Jawapan
E = 1.234
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 11.45 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 15·7.4² = 821.4
Had bagi σ²
821.4/27.488 = 29.88
821.4/6.262 = 131.2
Had bagi σ
σ = √131.2 = 11.45 µm
Jawapan
σ = 11.45 µm
Selang 95% bagi σ: [5.466, 11.45] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.1
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 8/√16 = 8/4 = 2
Statistik ujian
t = (54.2 − 50)/2 = 2.1
Jawapan
t = 2.1
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 295
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (2.576·10/1.5)² = 294.9
Bundarkan ke atas
n = 295
Jawapan
n = 295
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9976
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1474 − 42·171/6 = 277
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5975 − 171²/6 = 1102
Pekali korelasi
r = 277/√(70·1102) = 0.9976
Jawapan
r = 0.9976
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 42.25
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 217/5 = 43.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 23
Garis regresi
b = 23/10 = 2.3
a = 43.4 − 2.3·3 = 36.5
ŷ = 36.5 + 2.3·x
Ramalan
ŷ = 36.5 + 2.3·2.5 = 42.25
Jawapan
ŷ = 42.25
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1