Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 56, 42, 46, 32, 45, 30.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 60.

μ = 50σ = 8x = 60
z =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 4biru: 6

Sebuah beg mengandungi 4 bebola merah dan 6 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

4 / 6
P =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.2520.340.3560.1μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1Y = 3X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
200 g204 gT = X₁ + … + X₅?

Jisim bolt adalah tak bersandar dan normal dengan min 40 g dan sisihan piawai 1.2 g. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 5 daripadanya di bawah 204 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 5< 204 g
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 250x = ?90%

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 90% daripadanya (persentil ke-90).

μ = 250σ = 5P = 90%
x = g
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, s = 4.5LUx̄ = 83E = ?99%

Satu sampel 20 item mempunyai min 83 dan sisihan piawai s = 4.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 20x̄ = 83s = 4.599%t(19) = 2.861
E =
8.Selang keyakinanSukar
n = 30Lσ = ?s = 11.795%

Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 11.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.

n = 30s = 11.7 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.1452.145t = ?df = 14

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 6 pelajar, skor min 39.5, sisihan piawai 5.5. Kumpulan 2: 10 pelajar, skor min 37.5, sisihan piawai 2.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 6x̄₁ = 39.5s₁ = 5.5n₂ = 10x̄₂ = 37.5s₂ = 2.5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
μ₀x̄c

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 12.5. Pada hakikatnya min ialah 103.5. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 103.5σ = 12.5n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy1486169018114201262213324149xy152025100120140

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 114Σy = 698Σx² = 2236Σy² = 84258Σxy = 13718
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy258367464578674785xy246607080ŷ = 66

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 66?

n = 6ŷ = 66
x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.642

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 251/6 = 41.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 14.17² + 0.1667² + 4.167² + (−9.833)² + 3.167² + (−11.83)² = 464.8

Sisihan piawai

s = √(464.8/5) = 9.642

Jawapan

s = 9.642
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (60 − 50)/8 = 1.25

Jawapan

z = 1.25
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1333

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/10 · 3/9 = 12/90 = 0.1333

Jawapan

P = 0.1333
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 5.724

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.6, Var(X) = 3.64, σX = 1.908

Perubahan linear

σY = |3|·1.908 = 5.724

Jawapan

σY = 5.724

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.6 + 20 = 27.8.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9319

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 200 g, σT = 1.2·√5 = 2.683 g

Piawaikan

z = (204 − 200)/2.683 = 1.49

Kebarangkalian

P = Φ(1.49) = 0.9319

Jawapan

P = 0.9319
6.Taburan normal

Jawapan: x = 256.4 g

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

Kembali kepada x

x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g

Jawapan

x = 256.41 g
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 2.879

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 19, t = 2.861

Margin ralat

E = 2.861·4.5/√20 = 2.879

Jawapan

E = 2.879
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 15.73 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 29·11.7² = 3970

Had bagi σ²

3970/45.722 = 86.82
3970/16.047 = 247.4

Had bagi σ

σ = √247.4 = 15.73 µm

Jawapan

σ = 15.73 µm

Selang 95% bagi σ: [9.318, 15.73] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.006

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Varians terkumpul

sp² = (5·5.5² + 9·2.5²)/14 = 14.82
sp = 3.85

Ralat piawai

SE = 3.85·√(1/6 + 1/10) = 1.988

Statistik ujian

t = (39.5 − 37.5)/1.988 = 1.006

Jawapan

t = 1.006

Dengan df = 14, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.145; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 40.32 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12.5/√25 = 2.5
x̄c = 100 + 1.645·2.5 = 104.1

z di bawah min sebenar

z = (104.1 − 103.5)/2.5 = 0.245

Kuasa

kuasa = P(Z > 0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%

Jawapan

1 − β = 40.32%
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9857

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 13718 − 114·698/6 = 456
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 84258 − 698²/6 = 3057

Pekali korelasi

r = 456/√(70·3057) = 0.9857

Jawapan

r = 0.9857
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 3.471

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 426/6 = 71

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 85

Garis regresi

b = 85/17.5 = 4.857
a = 71 − 4.857·4.5 = 49.14
ŷ = 49.14 + 4.857·x

Selesaikan untuk x

x = (66 − 49.14)/4.857 = 3.471

Jawapan

x = 3.471

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1