Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 37, 48, 53, 34, 41, 52.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 164.
μ = 170σ = 12x = 164
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.25, 0.35
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?
n = 9p = 0.2k = 5
P =
5.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 167.15 dan 192.35 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 167.15x2 = 192.35
P =
6.Taburan normalSukar
Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 5.4. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% daripada data yang sama?
99%n₁ = 25E₁ = 5.495%
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.03?
p = 0.5E = 0.0390%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 49.13 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 49.13s = 5n = 64
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 502.2. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 502.2σ = 4n = 2590%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 20Σy = 334Σx² = 90Σy² = 22574Σxy = 1387
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 13) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(3.5, 13)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 8.423
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 298/7 = 42.57
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−9.571)² + (−5.571)² + 5.429² + 10.43² + (−8.571)² + (−1.571)² + 9.429² = 425.7
Sisihan piawai
s = √(425.7/6) = 8.423
Jawapan
s = 8.423
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = −0.5
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (164 − 170)/12 = −0.5
Jawapan
z = −0.5
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.027
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.85
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.25 + 16·0.35 = 9.15
Varians
Var(X) = 9.15 − 2.85² = 1.027
Jawapan
Var(X) = 1.027
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.01652
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 5) = 126·0.25·0.84 = 126·0.00032·0.4096 = 0.01652
Jawapan
P = 0.01652
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.9192
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (167.15 − 178)/7 = −1.55
z₂ = (192.35 − 178)/7 = 2.05
Luas antara
P = Φ(2.05) − Φ(−1.55) = 0.9798 − 0.06057 = 0.9192
Jawapan
P = 0.9192
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Piawaikan
z = (0 − 4)/5 = −0.8
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 4.109
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609
Margin baharu
E₂ = 5.4·0.7609 = 4.109
Jawapan
E₂ = 4.109
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 752
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1.645²·0.5·0.5/0.03² = 751.7
Bundarkan ke atas
n = 752
Jawapan
n = 752
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.392
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625
Statistik ujian
t = (49.13 − 50)/0.625 = −1.392
Jawapan
t = −1.392
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 500.9
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·4/√25 = 1.316
Had selang
L = 502.2 − 1.316 = 500.9
Jawapan
L = 500.9
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9948
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1387 − 20·334/5 = 51
Sxx = 90 − 20²/5 = 10
Syy = 22574 − 334²/5 = 262.8
Pekali korelasi
r = 51/√(10·262.8) = 0.9948
Jawapan
r = 0.9948
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −1.667
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 88/6 = 14.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50
Garis regresi
b = −50/17.5 = −2.857
a = 14.67 − (−2.857)·3.5 = 24.67
ŷ = 24.67 − 2.857·x
Nilai ramalan
ŷ = 24.67 + (−2.857)·3.5 = 14.67
Reja
e = 13 − 14.67 = −1.667
Jawapan
e = −1.667
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1