Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
3540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 41, 58, 46, 46, 58, 31.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 50?

μ = 60σ = 20x = 50
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 6biru: 3

Sebuah beg mengandungi 6 bebola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

6 / 3
P =
4.KebarangkalianSukar
n = 9, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

9 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 9p = 0.6
P =
5.Taburan normalSederhana
765 kg837 kgT = X₁ + … + X₉?

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 9 daripadanya melebihi 837 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 837 kg
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?10%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
n = 7, s = 15.5LUx̄ = 85.5E = ?90%

Satu sampel 7 item mempunyai min 85.5 dan sisihan piawai s = 15.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min.

n = 7x̄ = 85.5s = 15.590%t(6) = 1.943
E =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 36E = 2.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.99801.998

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 202.4 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202.4s = 8n = 64
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 102.4. Sisihan piawai populasi ialah 12. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 102.4σ = 12n = 1690%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy126227326422523621xy246222426

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 145Σx² = 91Σy² = 3535Σxy = 487
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy35356677998911102xy5106080100x = 8

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 8.

n = 5x = 8
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.35

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 280/6 = 46.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−5.667)² + 11.33² + (−0.6667)² + (−0.6667)² + 11.33² + (−15.67)² = 535.3

Sisihan piawai

s = √(535.3/5) = 10.35

Jawapan

s = 10.35
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3085

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4167

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0.4167

Jawapan

P = 0.4167
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.003801

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.49 = 0.0002621
P(X = 1) = 9·0.6·0.48 = 0.003539

Tambahkannya

P = 0.0002621 + 0.003539 = 0.003801

Jawapan

P = 0.003801
5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02275

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg

Piawaikan

z = (837 − 765)/36 = 2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(2) = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275
6.Taburan normal

Jawapan: x = 24.31 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min

Jawapan

x = 24.31 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 11.38

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 6, t = 1.943

Margin ralat

E = 1.943·15.5/√7 = 11.38

Jawapan

E = 11.38
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 797

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·36/2.5)² = 796.6

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 797

Jawapan

n = 797
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Statistik ujian

t = (202.4 − 200)/1 = 2.4

Jawapan

t = 2.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 107.3

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·12/√16 = 4.935

Had selang

U = 102.4 + 4.935 = 107.3

Jawapan

U = 107.3
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.8825

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 487 − 21·145/6 = −20.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 3535 − 145²/6 = 30.83

Pekali korelasi

r = −20.5/√(17.5·30.83) = −0.8825

Jawapan

r = −0.8825
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 83.85

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 389/5 = 77.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

Garis regresi

b = 242/40 = 6.05
a = 77.8 − 6.05·7 = 35.45
ŷ = 35.45 + 6.05·x

Ramalan

ŷ = 35.45 + 6.05·8 = 83.85

Jawapan

ŷ = 83.85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1