Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 28, 38, 55, 47, 43, 57.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 46?

μ = 50σ = 5x = 46

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 2 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 2

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X − 3. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.2, 0.2Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 490 dan 580 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 490x₂ = 580

P =

6.Taburan normalSukar

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 21 item mempunyai min 73 dan sisihan piawai s = 4.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 21x̄ = 73s = 4.595%t(20) = 2.086

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 9. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 9E = 395%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 30. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 94.6. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ ≠ 100. Cari nilai-p p.

μ₀ = 100σ = 30n = 144x̄ = 94.6H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 200.8. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 200.8σ = 8n = 2590%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 116?

n = 6ŷ = 116

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.86

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 268/6 = 44.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.67)² + (−6.667)² + 10.33² + 2.333² + (−1.667)² + 12.33² = 589.3

Sisihan piawai

s = √(589.3/5) = 10.86

Jawapan

s = 10.86

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.7881

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3056

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

Jawapan

P = 0.3056

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 6.808

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.5, Var(X) = 5.15, σ_X = 2.269

Perubahan linear

σ_Y = |3|·2.269 = 6.808

Jawapan

σ_Y = 6.808

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.5 − 3 = 4.5.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.576

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25

z₂ = (580 − 500)/40 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(−0.25) = 0.9772 − 0.4013 = 0.576

Jawapan

P = 0.576

6.Taburan normal

Jawapan: x = 27.95 min

z untuk persentil

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

Kembali kepada x

x = 32 + −0.6745·6 = 27.95 min

Jawapan

x = 27.95 min

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 70.95

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 20, t = 2.086

Margin ralat

E = 2.086·4.5/√21 = 2.048

Selang

73 ± 2.048 → [70.95, 75.05]

Jawapan

had bawah = 70.95

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 35

Selesaikan untuk n

n = (1.96·9/3)² = 34.57

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 35

Jawapan

n = 35

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.03077

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 30/√144 = 2.5

z = (94.6 − 100)/2.5 = −2.16

Luas ekor

Φ(2.16) = 0.9846

1 − Φ(2.16) = 0.0154

Nilai-p

p = 2·0.0154 = 0.03077

Jawapan

p = 0.03077

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 203.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·8/√25 = 2.632

Had selang

U = 200.8 + 2.632 = 203.4

Jawapan

U = 203.4

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.7578

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 283/5 = 56.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 89.2

Pekali penentuan

r² = 26²/(10·89.2) = 0.7578

Jawapan

r² = 0.7578

Kira-kira 75.78% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 22.5

Min

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 797/6 = 132.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 883.5

Garis regresi

b = 883.5/157.5 = 5.61

a = 132.8 − 5.61·25.5 = −10.21

ŷ = −10.21 + 5.61·x

Selesaikan untuk x

x = (116 − (−10.21))/5.61 = 22.5

Jawapan

x = 22.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1