Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 48, 55, 57, 29, 19.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 100. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 420?

μ = 500σ = 100x = 420

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.2, 0.05, 0.1, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.35, 0.1, 0.15, 0.05Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 169.95 dan 186.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 169.95x₂ = 186.75

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 70% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah70%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 76.5 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Model 2: 80 telefon, min 85.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 76.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 85.5 hσ₂ = 13 h99%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p = 0.5E = 0.0290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 12 pelajar, skor min 29, sisihan piawai 7. Kumpulan 2: 19 pelajar, skor min 21.5, sisihan piawai 6. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 12x̄₁ = 29s₁ = 7n₂ = 19x̄₂ = 21.5s₂ = 6

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 2.5. Pada hakikatnya min ialah 101. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 101σ = 2.5n = 25α = 0.10

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 13?

n = 5ŷ = 13

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.79

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 208/5 = 41.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6.4² + 13.4² + 15.4² + (−12.6)² + (−22.6)² = 1127

Sisihan piawai

s = √(1127/4) = 16.79

Jawapan

s = 16.79

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.9

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.1 + 5·0.35 = 3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.1 + 25·0.35 = 11.9

Varians

Var(X) = 11.9 − 3² = 2.9

Jawapan

Var(X) = 2.9

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 3.625

Serakan X

μ = 1.2, Var(X) = 1.46, σ_X = 1.208

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.208 = 3.625

Jawapan

σ_Y = 3.625

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.2 + 1 = 4.6.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7693

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15

z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−1.15) = 0.8944 − 0.1251 = 0.7693

Jawapan

P = 0.7693

6.Taburan normal

Jawapan: x = 59.8 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.3

z daripada jadual

z ≈ −0.52

Kembali kepada unit asal

x = 65 − 0.52·10 = 59.8 markah

Jawapan

x = 59.8 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 3.842 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 76.5 − 85.5 = −9

Ralat piawai

SE = √(3²/80 + 13²/80) = 1.492

Margin ralat

E = 2.576·1.492 = 3.842

Jawapan

E = 3.842 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

Bundarkan ke atas

n = 1692

Jawapan

n = 1692

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 3.179

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (11·7² + 18·6²)/29 = 40.93

s_p = 6.398

Ralat piawai

SE = 6.398·√(1/12 + 1/19) = 2.359

Statistik ujian

t = (29 − 21.5)/2.359 = 3.179

Jawapan

t = 3.179

Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 76.36 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 2.5/√25 = 0.5

x̄_c = 100 + 1.282·0.5 = 100.6

z di bawah min sebenar

z = (100.6 − 101)/0.5 = −0.718

Kuasa

kuasa = P(Z > −0.718) = 76.36%

1 − β = 76.36%

Jawapan

1 − β = 76.36%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9959

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 461/6 = 76.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 429

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2651

Pekali korelasi

r = 429/√(70·2651) = 0.9959

Jawapan

r = 0.9959

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 3.03

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 114/5 = 22.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

Garis regresi

b = 132/40 = 3.3

a = 22.8 − 3.3·6 = 3

ŷ = 3 + 3.3·x

Selesaikan untuk x

x = (13 − 3)/3.3 = 3.03

Jawapan

x = 3.03

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1