Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 31, 13, 24, 30, 44, 54.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 160.4.
μ = 170σ = 12x = 160.4
z =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 6 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 6
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 1. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.1, 0.15, 0.35Y = 10X + 1
σY =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9668. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9668
z =
6.Taburan normalSukar
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 85% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 65 markahσ = 10 markah85%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 13 item mempunyai min 69.5 dan sisihan piawai s = 12. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.
n = 13x̄ = 69.5s = 1299%t(12) = 3.055
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 23. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?
σ = 23E = 295%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 17 pelajar, skor min 53.5, sisihan piawai 8.5. Kumpulan 2: 14 pelajar, skor min 58.9, sisihan piawai 5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 17x̄₁ = 53.5s₁ = 8.5n₂ = 14x̄₂ = 58.9s₂ = 5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ > 500 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 18. Pada hakikatnya min ialah 503.3. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 500μ = 503.3σ = 18n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 141Σy = 568Σx² = 3471Σy² = 56626Σxy = 14002
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (1.5, 27) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(1.5, 27)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.53
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 196/6 = 32.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−1.667)² + (−19.67)² + (−8.667)² + (−2.667)² + 11.33² + 21.33² = 1055
Sisihan piawai
s = √(1055/5) = 14.53
Jawapan
s = 14.53
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = −0.8
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (160.4 − 170)/12 = −0.8
Jawapan
z = −0.8
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.6651
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
Jawapan
P = 0.6651
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 14.59
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.35, Var(X) = 2.128, σX = 1.459
Perubahan linear
σY = |10|·1.459 = 14.59
Jawapan
σY = 14.59
Min memang berubah: E(Y) = 10·2.35 + 1 = 24.5.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.13
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.9668)/2 = 0.9834
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9834 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.13
Jawapan
z = 2.13
6.Taburan normal
Jawapan: x = 75.4 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.85
z daripada jadual
z ≈ 1.04
Kembali kepada unit asal
x = 65 + 1.04·10 = 75.4 markah
Jawapan
x = 75.4 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 59.33
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 12, t = 3.055
Margin ralat
E = 3.055·12/√13 = 10.17
Selang
69.5 ± 10.17 → [59.33, 79.67]
Jawapan
had bawah = 59.33
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 509
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·23/2)² = 508.1
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 509
Jawapan
n = 509
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −2.094
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (16·8.5² + 13·5²)/29 = 51.07
sp = 7.146
Ralat piawai
SE = 7.146·√(1/17 + 1/14) = 2.579
Statistik ujian
t = (53.5 − 58.9)/2.579 = −2.094
Jawapan
t = −2.094
Dengan df = 29, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.045; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 29.29 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 18/√36 = 3
x̄c = 500 + 1.645·3 = 504.9
z di bawah min sebenar
z = (504.9 − 503.3)/3 = 0.545
Kuasa
kuasa = P(Z > 0.545) = 29.29%
1 − β = 29.29%
Jawapan
1 − β = 29.29%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9752
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 14002 − 141·568/6 = 654
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157.5
Syy = 56626 − 568²/6 = 2855
Pekali korelasi
r = 654/√(157.5·2855) = 0.9752
Jawapan
r = 0.9752
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 3.424
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 113/6 = 18.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41.5
Garis regresi
b = −41.5/17.5 = −2.371
a = 18.83 − (−2.371)·3.5 = 27.13
ŷ = 27.13 − 2.371·x
Nilai ramalan
ŷ = 27.13 + (−2.371)·1.5 = 23.58
Reja
e = 27 − 23.58 = 3.424
Jawapan
e = 3.424
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1