Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 45, 11, 14, 48, 23, 21.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 76.
μ = 70σ = 15x = 76
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.25, 0.1
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.35, 0.05, 0.3Y = 10X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 45.5 dan 70.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 65σ = 10x1 = 45.5x2 = 70.5
P =
6.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 15% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 61.5 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Model 2: 60 telefon, min 56.5 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 61.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 60x̄₂ = 56.5 hσ₂ = 12 h95%
had atas = h
8.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.15 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.04?
p ≈ 0.15E = 0.0495%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 259.04. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ ≠ 250. Cari nilai-p p.
μ₀ = 250σ = 20n = 25x̄ = 259.04H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 199.9. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.
x̄ = 199.9σ = 4n = 3699%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.76
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 162/6 = 27
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 18² + (−16)² + (−13)² + 21² + (−4)² + (−6)² = 1242
Sisihan piawai
s = √(1242/5) = 15.76
Jawapan
s = 15.76
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = 0.4
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (76 − 70)/15 = 0.4
Jawapan
z = 0.4
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.248
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.25 + 5·0.1 = 3.05
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.25 + 25·0.1 = 10.55
Varians
Var(X) = 10.55 − 3.05² = 1.248
Jawapan
Var(X) = 1.248
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 11.95
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.35, Var(X) = 1.428, σX = 1.195
Perubahan linear
σY = |10|·1.195 = 11.95
Jawapan
σY = 11.95
Min memang berubah: E(Y) = 10·2.35 + 10 = 33.5.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6833
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95
z₂ = (70.5 − 65)/10 = 0.55
Luas antara
P = Φ(0.55) − Φ(−1.95) = 0.7088 − 0.02559 = 0.6833
Jawapan
P = 0.6833
6.Taburan normal
Jawapan: x = 244.8 g
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.15
z daripada jadual
z ≈ −1.04
Kembali kepada unit asal
x = 250 − 1.04·5 = 244.8 g
Jawapan
x = 244.8 g
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 9.712 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 61.5 − 56.5 = 5
Ralat piawai
SE = √(13²/50 + 12²/60) = 2.404
Margin ralat
E = 1.96·2.404 = 4.712
Selang
5 ± 4.712 → [0.2878, 9.712]
Jawapan
had atas = 9.712 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 307
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1.96²·0.15·0.85/0.04² = 306.1
Bundarkan ke atas
n = 307
Jawapan
n = 307
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.02382
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (259.04 − 250)/4 = 2.26
Luas ekor
Φ(2.26) = 0.9881
1 − Φ(2.26) = 0.0119
Nilai-p
p = 2·0.0119 = 0.02382
Jawapan
p = 0.02382
p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: U = 201.6
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 2.576·4/√36 = 1.717
Had selang
U = 199.9 + 1.717 = 201.6
Jawapan
U = 201.6
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9844
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 408/5 = 81.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 387
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1717
Pekali korelasi
r = 387/√(90·1717) = 0.9844
Jawapan
r = 0.9844
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 1.526
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Garis regresi
b = −19/10 = −1.9
a = 18.2 − (−1.9)·3 = 23.9
ŷ = 23.9 − 1.9·x
Selesaikan untuk x
x = (21 − 23.9)/(−1.9) = 1.526
Jawapan
x = 1.526
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1