Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 36, 56, 28, 17, 22, 21.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 162.

μ = 170σ = 10x = 162

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 6? Susunan tidak penting.

n = 6k = 2

N =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.2, 0.35, 0.1, 0.1Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 82.75 dan 130.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 82.75x₂ = 130.75

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 60 telefon, min 79 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Model 2: 80 telefon, min 77 j, sisihan piawai diketahui 6 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 79 hσ₁ = 5 hn₂ = 80x̄₂ = 77 hσ₂ = 6 h90%

had bawah = h

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.04?

p = 0.5E = 0.0499%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 24. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 90. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 24n = 36x̄ = 90H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 9. Pada hakikatnya min ialah 74.75. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 74.75σ = 9n = 36α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.5.

n = 6x = 3.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.35

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 180/6 = 30

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6² + 26² + (−2)² + (−13)² + (−8)² + (−9)² = 1030

Sisihan piawai

s = √(1030/5) = 14.35

Jawapan

s = 14.35

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Piawaikan

z = (162 − 170)/10 = −0.8

Jawapan

z = −0.8

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 15

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15

Jawapan

N = 15

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 3.723

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.6, Var(X) = 1.54, σ_X = 1.241

Perubahan linear

σ_Y = |3|·1.241 = 3.723

Jawapan

σ_Y = 3.723

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.6 + 20 = 27.8.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8547

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (82.75 − 100)/15 = −1.15

z₂ = (130.75 − 100)/15 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−1.15) = 0.9798 − 0.1251 = 0.8547

Jawapan

P = 0.8547

6.Taburan normal

Jawapan: x = 578.4 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

Jawapan

x = 578.4 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 0.4686 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 79 − 77 = 2

Ralat piawai

SE = √(5²/60 + 6²/80) = 0.9309

Margin ralat

E = 1.645·0.9309 = 1.531

Selang

2 ± 1.531 → [0.4686, 3.531]

Jawapan

had bawah = 0.4686 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.04² = 1037

Bundarkan ke atas

n = 1037

Jawapan

n = 1037

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.00621

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (90 − 80)/4 = 2.5

Luas ekor

Φ(2.5) = 0.9938

1 − Φ(2.5) = 0.0062

Nilai-p

p = 0.00621

Jawapan

p = 0.00621

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 96.82 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 80 − 1.645·1.5 = 77.53

z di bawah min sebenar

z = (77.53 − 74.75)/1.5 = 1.855

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.855) = 96.82%

1 − β = 96.82%

Jawapan

1 − β = 96.82%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9384

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 334/6 = 55.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 115

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 805.3

Pekali penentuan

r² = 115²/(17.5·805.3) = 0.9384

Jawapan

r² = 0.9384

Kira-kira 93.84% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 17.33

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 104/6 = 17.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

Garis regresi

b = −41/17.5 = −2.343

a = 17.33 − (−2.343)·3.5 = 25.53

ŷ = 25.53 − 2.343·x

Ramalan

ŷ = 25.53 + (−2.343)·3.5 = 17.33

Jawapan

ŷ = 17.33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1