Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 42, 19, 49, 55, 58.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 158?

μ = 170σ = 12x = 158

P =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 6? Susunan tidak penting.

n = 6k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

6 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 6p = 0.25

P =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.7054. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.7054

z =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 110 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Model 2: 50 telefon, min 112 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 110 hσ₁ = 12 hn₂ = 50x̄₂ = 112 hσ₂ = 20 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 8 petak, min hasil 87.5 kg, sisihan piawai 4.5 kg. Kumpulan petak 2: 6 petak, min 85 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 87.5s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 85s₂ = 3.595%t(12) = 2.179

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 76.37 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76.37s = 4n = 49

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 25 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 30 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 30n₂ = 250

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 143Σx² = 91Σy² = 3495Σxy = 463

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 40?

n = 6ŷ = 40

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.57

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 223/5 = 44.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−2.6)² + (−25.6)² + 4.4² + 10.4² + 13.4² = 969.2

Sisihan piawai

s = √(969.2/4) = 15.57

Jawapan

s = 15.57

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 15

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Jawapan

N = 15

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5339

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75⁶ = 0.178

P(X = 1) = 6·0.25·0.75⁵ = 0.356

Tambahkannya

P = 0.178 + 0.356 = 0.5339

Jawapan

P = 0.5339

5.Taburan normal

Jawapan: z = −0.54

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.7054 = 0.2946

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.2946 di dalam jadual dan baca z.

z = −0.54

Jawapan

z = −0.54

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9099

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

Jawapan

P = 0.9099

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.136 h

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 110 − 112 = −2

Ralat piawai

SE = √(12²/80 + 20²/50) = 3.13

Margin ralat

E = 1.96·3.13 = 6.136

Jawapan

E = 6.136 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 4.84 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (7·4.5² + 5·3.5²)/12 = 16.92

s_p = 4.113

Margin ralat

E = 2.179·4.113·√(1/8 + 1/6) = 4.84

Jawapan

E = 4.84 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.398

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

Statistik ujian

t = (76.37 − 75)/0.5714 = 2.398

Jawapan

t = 2.398

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 3.019

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 25/100 = 0.25

p̂₂ = 30/250 = 0.12

p̂ = 55/350 = 0.1571

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.1571·0.8429·(1/100 + 1/250)) = 0.04306

Statistik ujian

z = (0.25 − 0.12)/0.04306 = 3.019

Jawapan

z = 3.019

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.962

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 463 − 21·143/6 = −37.5

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 3495 − 143²/6 = 86.83

Pekali korelasi

r = −37.5/√(17.5·86.83) = −0.962

Jawapan

r = −0.962

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 2.023

Min

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 390/6 = 65

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 440

Garis regresi

b = 440/70 = 6.286

a = 65 − 6.286·6 = 27.29

ŷ = 27.29 + 6.286·x

Selesaikan untuk x

x = (40 − 27.29)/6.286 = 2.023

Jawapan

x = 2.023

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1