Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
15202530354045

Cari sisihan piawai sampel s data: 29, 46, 18, 15, 22, 43.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 70.

μ = 60σ = 5x = 70
z =
3.KebarangkalianSederhana
P(sekurang-kurangnya satu enam) = ??1?2?3?4P(enam) = 1/6 pada setiap golekan

Satu dadu adil digolek 4 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 4
P =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)10.120.2530.240.350.15μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 10. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.1, 0.25, 0.2, 0.3, 0.15Y = 5X + 10
σY =
5.Taburan normalSederhana
452534P = ?

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 452 dan 534 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x1 = 452x2 = 534
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 100x = ?20%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 100σ = 15P = 20%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 13, s = 19.5LU = ?x̄ = 110E90%

Satu sampel 13 item mempunyai min 110 dan sisihan piawai s = 19.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.

n = 13x̄ = 110s = 19.590%t(12) = 1.782
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
n = 25Lσ = ?s = 6.595%

Diameter 25 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 6.5 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 24, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 12.401 dan 2.5% terletak di atas 39.364.

n = 25s = 6.5 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−2.4472.447t = ?df = 6

7 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah −8.84 dan sisihan piawai beza ialah 11.7. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μd = 0.

n = 7d̄ = −8.84sd = 11.7
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 53.8. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 53.8σ = 10n = 6490%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy1423505587659731185xy510406080

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy24545365886910771277xy51050607080x = 7

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 7.

n = 6x = 7
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.04

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 173/6 = 28.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.1667² + 17.17² + (−10.83)² + (−13.83)² + (−6.833)² + 14.17² = 850.8

Sisihan piawai

s = √(850.8/5) = 13.04

Jawapan

s = 13.04
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (70 − 60)/5 = 2

Jawapan

z = 2
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5177

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)4 = 0.4823
P = 1 − 0.4823 = 0.5177

Jawapan

P = 0.5177
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 6.18

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 3.15, Var(X) = 1.527, σX = 1.236

Perubahan linear

σY = |5|·1.236 = 6.18

Jawapan

σY = 6.18

Min memang berubah: E(Y) = 5·3.15 + 10 = 25.75.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6873

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (452 − 500)/40 = −1.2
z₂ = (534 − 500)/40 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−1.2) = 0.8023 − 0.1151 = 0.6873

Jawapan

P = 0.6873
6.Taburan normal

Jawapan: x = 87.38 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 markah

Jawapan

x = 87.38 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 119.6

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 1.782

Margin ralat

E = 1.782·19.5/√13 = 9.638

Selang

110 ± 9.638 → [100.4, 119.6]

Jawapan

had atas = 119.6
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 9.043 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 24·6.5² = 1014

Had bagi σ²

1014/39.364 = 25.76
1014/12.401 = 81.77

Had bagi σ

σ = √81.77 = 9.043 µm

Jawapan

σ = 9.043 µm

Selang 95% bagi σ: [5.075, 9.043] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.999

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 11.7/√7 = 4.422

Statistik ujian

t = −8.84/4.422 = −1.999

Jawapan

t = −1.999

Dengan df = 6, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.447; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 51.74

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·10/√64 = 2.056

Had selang

L = 53.8 − 2.056 = 51.74

Jawapan

L = 51.74
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9925

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 373/6 = 62.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 291
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1219

Pekali penentuan

r² = 291²/(70·1219) = 0.9925

Jawapan

r² = 0.9925

Kira-kira 99.25% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 63.17

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 379/6 = 63.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 243

Garis regresi

b = 243/70 = 3.471
a = 63.17 − 3.471·7 = 38.87
ŷ = 38.87 + 3.471·x

Ramalan

ŷ = 38.87 + 3.471·7 = 63.17

Jawapan

ŷ = 63.17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1