Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 12, 48, 36, 42, 12, 14, 47.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 90?

μ = 70σ = 10x = 90

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 5

P =

4.KebarangkalianSukar

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.5

P =

5.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 95.4 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 95.4 s

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 90% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 13 item mempunyai min 27.5 dan sisihan piawai s = 7.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 13x̄ = 27.5s = 7.599%t(12) = 3.055

E =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 11 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 10.2 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 10, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 3.247 dan 2.5% terletak di atas 20.483.

n = 11s = 10.2 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 200.3 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200.3s = 4n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 53.3. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 53.3σ = 20n = 6490%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4, 51) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(4, 51)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.82

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 211/7 = 30.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−18.14)² + 17.86² + 5.857² + 11.86² + (−18.14)² + (−16.14)² + 16.86² = 1697

Sisihan piawai

s = √(1697/6) = 16.82

Jawapan

s = 16.82

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9772

Piawaikan

z = 2

Jadual normal piawai

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

Jawapan

P = 0.9772

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5981

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

Jawapan

P = 0.5981

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0625

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.5⁷ = 0.007813

P(X = 1) = 7·0.5·0.5⁶ = 0.05469

Tambahkannya

P = 0.007813 + 0.05469 = 0.0625

Jawapan

P = 0.0625

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (95.4 − 105)/6.403 = −1.5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−1.5) = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

6.Taburan normal

Jawapan: x = 256.4 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.9

z daripada jadual

z ≈ 1.28

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

Jawapan

x = 256.4 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.355

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 3.055

Margin ralat

E = 3.055·7.5/√13 = 6.355

Jawapan

E = 6.355

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 17.9 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 10·10.2² = 1040

Had bagi σ²

1040/20.483 = 50.79

1040/3.247 = 320.4

Had bagi σ

σ = √320.4 = 17.9 µm

Jawapan

σ = 17.9 µm

Selang 95% bagi σ: [7.127, 17.9] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.675

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

Statistik ujian

t = (200.3 − 200)/0.4444 = 0.675

Jawapan

t = 0.675

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 49.19

Margin ralat

E = 1.645·20/√64 = 4.112

Had selang

L = 53.3 − 4.112 = 49.19

Jawapan

L = 49.19

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9944

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 286/6 = 47.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 649.3

Pekali korelasi

r = 212/√(70·649.3) = 0.9944

Jawapan

r = 0.9944

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 5.2

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 283/5 = 56.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

Garis regresi

b = 144/40 = 3.6

a = 56.6 − 3.6·7 = 31.4

ŷ = 31.4 + 3.6·x

Nilai ramalan

ŷ = 31.4 + 3.6·4 = 45.8

Reja

e = 51 − 45.8 = 5.2

Jawapan

e = 5.2

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1