Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 769.7 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769.7 g

P =

2.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 80% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah80%

x = markah

3.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 6 item mempunyai min 94.5 dan sisihan piawai s = 12. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 6x̄ = 94.5s = 1290%t(5) = 2.015

had bawah =

4.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 13 petak, min hasil 78 kg, sisihan piawai 5 kg. Kumpulan petak 2: 13 petak, min 84.5 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 78s₁ = 5n₂ = 13x̄₂ = 84.5s₂ = 9.590%t(24) = 1.711

E = kg

5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 60 bahagian mempunyai min panjang 109 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 5 mm. Talian 2: sampel 80 bahagian mempunyai min 106.6 mm, sisihan piawai diketahui 6 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 60x̄₁ = 109 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 80x̄₂ = 106.6 mmσ₂ = 6 mm

z =

6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 98 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 58 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 98n₁ = 150x₂ = 58n₂ = 80

z =

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 61?

n = 5ŷ = 61

x =

9.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1402 × 3

χ² =

10.Ujian khi kuasa duaSukar

Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 2 baris dan 2 lajur (tidak termasuk jumlah). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²_crit pada aras keertian α = 0.05.

α = 0.05

χ²_crit =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02275

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (769.7 − 750)/9.849 = 2

Ekor atas

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0.9772 = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

2.Taburan normal

Jawapan: x = 73.4 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.8

z daripada jadual

z ≈ 0.84

Kembali kepada unit asal

x = 65 + 0.84·10 = 73.4 markah

Jawapan

x = 73.4 markah

3.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 84.63

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 5, t = 2.015

Margin ralat

E = 2.015·12/√6 = 9.871

Selang

94.5 ± 9.871 → [84.63, 104.4]

Jawapan

had bawah = 84.63

4.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.094 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (12·5² + 12·9.5²)/24 = 57.63

s_p = 7.591

Margin ralat

E = 1.711·7.591·√(1/13 + 1/13) = 5.094

Jawapan

E = 5.094 kg

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 2.578

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(5²/60 + 6²/80) = √0.8667 = 0.9309

Statistik ujian

z = (109 − 106.6)/0.9309 = 2.578

Jawapan

z = 2.578

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.108

Perkadaran sampel

p̂₁ = 98/150 = 0.6533

p̂₂ = 58/80 = 0.725

p̂ = 156/230 = 0.6783

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.6783·0.3217·(1/150 + 1/80)) = 0.06467

Statistik ujian

z = (0.6533 − 0.725)/0.06467 = −1.108

Jawapan

z = −1.108

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.8649

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 77/6 = 12.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 130.8

Pekali penentuan

r² = −44.5²/(17.5·130.8) = 0.8649

Jawapan

r² = 0.8649

Kira-kira 86.49% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 3.483

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 291/5 = 58.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 58

Garis regresi

b = 58/10 = 5.8

a = 58.2 − 5.8·3 = 40.8

ŷ = 40.8 + 5.8·x

Selesaikan untuk x

x = (61 − 40.8)/5.8 = 3.483

Jawapan

x = 3.483

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 7.194

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

bandar: 40·21/140 = 6, 40·56/140 = 16, 40·63/140 = 18

luar bandar: 100·21/140 = 15, 100·56/140 = 40, 100·63/140 = 45

Statistik khi kuasa dua

χ² = (5 − 6)²/6 + (10 − 16)²/16 + (25 − 18)²/18 + (16 − 15)²/15 + (46 − 40)²/40 + (38 − 45)²/45

χ² = 7.194

Jawapan

χ² = 7.194

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ²_crit = 3.841

Darjah kebebasan

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Jadual

χ²_crit(df = 1, α = 0.05) = 3.841

Jawapan

χ²_crit = 3.841

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference