Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian
χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana
1360 kg1384 kgT = X₁ + … + X₁₆?

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya di bawah 1384 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1384 kg
P =
2.Taburan normalSukar
0.02 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
3.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 100 telefon, min 80.5 j, sisihan piawai diketahui 16 j. Model 2: 80 telefon, min 86.5 j, sisihan piawai diketahui 11 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 80.5 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 86.5 hσ₂ = 11 h95%
had atas = h
4.Selang keyakinanSukar
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.599%

Sisihan piawai populasi ialah 11. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 11E = 0.599%
n =
5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−1.8p = ?

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 500; sisihan piawai populasi diketahui ialah 5. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 499.1. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500. Cari nilai-p p.

μ₀ = 500σ = 5n = 100x̄ = 499.1H₁: μ < μ₀
p =
6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 120.8. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 120.8σ = 5n = 8195%
L =
7.Regresi linear & korelasiSederhana
xy15235957778599811117xy51050100

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 36Σy = 488Σx² = 286Σy² = 42632Σxy = 3378
r =
8.Regresi linear & korelasiSukar
xy2104146188271030xy510102030x = 5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 5x = 5
ŷ =
9.Ujian khi kuasa duaSederhana
tiada kecacatankecilbesarJumlahsyif siang8191340syif malam245343120Jumlah327256160

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1602 × 3
χ² =
10.Ujian khi kuasa duaSukar
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

Satu ujian kebebasan khi kuasa dua dijalankan pada jadual kontingensi dengan 3 baris dan 3 lajur (tidak termasuk jumlah). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.

α = 0.01
χ²crit =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6915

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg

Piawaikan

z = (1384 − 1360)/48 = 0.5

Kebarangkalian

P = Φ(0.5) = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915
2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8133

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

Jawapan

P = 0.8133
3.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −2.045 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 80.5 − 86.5 = −6

Ralat piawai

SE = √(16²/100 + 11²/80) = 2.018

Margin ralat

E = 1.96·2.018 = 3.955

Selang

−6 ± 3.955 → [−9.955, −2.045]

Jawapan

had atas = −2.045 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

4.Selang keyakinan

Jawapan: n = 3212

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·11/0.5)² = 3212

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 3212

Jawapan

n = 3212
5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.03593

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 5/√100 = 0.5
z = (499.1 − 500)/0.5 = −1.8

Luas ekor

Φ(1.8) = 0.9641
1 − Φ(1.8) = 0.0359

Nilai-p

p = 0.03593

Jawapan

p = 0.03593

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 119.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·5/√81 = 1.089

Had selang

L = 120.8 − 1.089 = 119.7

Jawapan

L = 119.7
7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9917

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 3378 − 36·488/6 = 450
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 42632 − 488²/6 = 2941

Pekali korelasi

r = 450/√(70·2941) = 0.9917

Jawapan

r = 0.9917
8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 17.15

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 99/5 = 19.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

Garis regresi

b = 106/40 = 2.65
a = 19.8 − 2.65·6 = 3.9
ŷ = 3.9 + 2.65·x

Ramalan

ŷ = 3.9 + 2.65·5 = 17.15

Jawapan

ŷ = 17.15
9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 0.1693

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

syif siang: 40·32/160 = 8, 40·72/160 = 18, 40·56/160 = 14
syif malam: 120·32/160 = 24, 120·72/160 = 54, 120·56/160 = 42

Statistik khi kuasa dua

χ² = (8 − 8)²/8 + (19 − 18)²/18 + (13 − 14)²/14 + (24 − 24)²/24 + (53 − 54)²/54 + (43 − 42)²/42
χ² = 0.1693

Jawapan

χ² = 0.1693

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ²crit = 13.28

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Darjah kebebasan

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Jadual

χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

Jawapan

χ²crit = 13.277

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference