Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.2843. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.2843

z =

2.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.05 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.05 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 30 item mempunyai min 102.5 dan sisihan piawai s = 4.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 30x̄ = 102.5s = 4.599%t(29) = 2.756

had bawah =

4.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 14. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 14E = 195%

n =

5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 32. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 116. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ < 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 32n = 64x̄ = 116H₁: μ < μ₀

p =

6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 199.6. Sisihan piawai populasi ialah 5. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 199.6σ = 5n = 8190%

U =

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 531Σx² = 364Σy² = 49939Σxy = 4168

r =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 74?

n = 6ŷ = 74

x =

9.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1802 × 2

χ² =

10.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: z = 0.57

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.2843 = 0.7157

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7157 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.57

Jawapan

z = 0.57

2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9772

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.05)/0.025 = −2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−2) = 0.9772

Jawapan

P = 0.9772

3.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 100.2

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 2.756

Margin ralat

E = 2.756·4.5/√30 = 2.264

Selang

102.5 ± 2.264 → [100.2, 104.8]

Jawapan

had bawah = 100.2

4.Selang keyakinan

Jawapan: n = 753

Selesaikan untuk n

n = (1.96·14/1)² = 753

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 753

Jawapan

n = 753

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.1587

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (116 − 120)/4 = −1

Luas ekor

Φ(1) = 0.8413

1 − Φ(1) = 0.1587

Nilai-p

p = 0.1587

Jawapan

p = 0.1587

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 200.5

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·5/√81 = 0.9139

Had selang

U = 199.6 + 0.9139 = 200.5

Jawapan

U = 200.5

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9932

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 4168 − 42·531/6 = 451

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 49939 − 531²/6 = 2946

Pekali korelasi

r = 451/√(70·2946) = 0.9932

Jawapan

r = 0.9932

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 10.92

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 369/6 = 61.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 223

Garis regresi

b = 223/70 = 3.186

a = 61.5 − 3.186·7 = 39.2

ŷ = 39.2 + 3.186·x

Selesaikan untuk x

x = (74 − 39.2)/3.186 = 10.92

Jawapan

x = 10.92

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 2.604

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

ubat baharu: 120·72/180 = 48, 120·108/180 = 72

plasebo: 60·72/180 = 24, 60·108/180 = 36

Statistik khi kuasa dua

χ² = (43 − 48)²/48 + (77 − 72)²/72 + (29 − 24)²/24 + (31 − 36)²/36

χ² = 2.604

Jawapan

χ² = 2.604

df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 10

Kiraan jangkaan

umur 18–30: 18, 42

umur 31–50: 18, 42

umur 51+: 18, 42

Statistik khi kuasa dua

χ² = (12 − 18)²/18 + (48 − 42)²/42 + (15 − 18)²/18 + (45 − 42)²/42 + (27 − 18)²/18 + (33 − 42)²/42

χ² = 10

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5.991

10 > 5.991

Jawapan

χ² = 10

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference