Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 166.8 dan 188.5 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 188.5

P =

2.Taburan normalSukar

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 6 item mempunyai min 110 dan sisihan piawai s = 6. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 6x̄ = 110s = 690%t(5) = 2.015

had bawah =

4.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 15 petak, min hasil 82.5 kg, sisihan piawai 5 kg. Kumpulan petak 2: 6 petak, min 75.5 kg, sisihan piawai 5.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 82.5s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 75.5s₂ = 5.590%t(19) = 1.729

had bawah = kg

5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 80; sisihan piawai populasi diketahui ialah 24. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 77.56. Uji H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ ≠ 80. Cari nilai-p p.

μ₀ = 80σ = 24n = 144x̄ = 77.56H₁: μ ≠ μ₀

p =

6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 70 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 130 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 130n₂ = 200

z =

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

9.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1802 × 2

χ² =

10.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8784

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (188.5 − 178)/7 = 1.5

Luas antara

P = Φ(1.5) − Φ(−1.6) = 0.9332 − 0.0548 = 0.8784

Jawapan

P = 0.8784

2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

3.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 105.1

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 5, t = 2.015

Margin ralat

E = 2.015·6/√6 = 4.936

Selang

110 ± 4.936 → [105.1, 114.9]

Jawapan

had bawah = 105.1

4.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 2.71 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (14·5² + 5·5.5²)/19 = 26.38

s_p = 5.136

Margin ralat

E = 1.729·5.136·√(1/15 + 1/6) = 4.29

Selang

7 ± 4.29 → [2.71, 11.29]

Jawapan

had bawah = 2.71 kg

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.2225

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (77.56 − 80)/2 = −1.22

Luas ekor

Φ(1.22) = 0.8888

1 − Φ(1.22) = 0.1112

Nilai-p

p = 2·0.1112 = 0.2225

Jawapan

p = 0.2225

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.866

Perkadaran sampel

p̂₁ = 70/100 = 0.7

p̂₂ = 130/200 = 0.65

p̂ = 200/300 = 0.6667

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.6667·0.3333·(1/100 + 1/200)) = 0.05774

Statistik ujian

z = (0.7 − 0.65)/0.05774 = 0.866

Jawapan

z = 0.866

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.7265

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 33/6 = 5.5

ȳ = 377/6 = 62.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 148.8

Pekali penentuan

r² = 43.5²/(17.5·148.8) = 0.7265

Jawapan

r² = 0.7265

Kira-kira 72.65% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 21.26

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 168/6 = 28

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Garis regresi

b = 236/70 = 3.371

a = 28 − 3.371·7 = 4.4

ŷ = 4.4 + 3.371·x

Ramalan

ŷ = 4.4 + 3.371·5 = 21.26

Jawapan

ŷ = 21.26

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 74.29

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

ubat baharu: 120·117/180 = 78, 120·63/180 = 42

plasebo: 60·117/180 = 39, 60·63/180 = 21

Statistik khi kuasa dua

χ² = (104 − 78)²/78 + (16 − 42)²/42 + (13 − 39)²/39 + (47 − 21)²/21

χ² = 74.29

Jawapan

χ² = 74.29

df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 13.68

Kiraan jangkaan

loji A: 30, 10

loji B: 60, 20

loji C: 75, 25

Statistik khi kuasa dua

χ² = (21 − 30)²/30 + (19 − 10)²/10 + (66 − 60)²/60 + (14 − 20)²/20 + (78 − 75)²/75 + (22 − 25)²/25

χ² = 13.68

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 5.991

13.68 > 5.991

Jawapan

χ² = 13.68

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference