Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 8 daripadanya melebihi 697 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8> 697 kg

P =

2.Taburan normalSukar

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

3.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 8 item mempunyai min 48.5 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 8x̄ = 48.5s = 1095%t(7) = 2.365

had bawah =

4.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 39. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 39E = 499%

n =

5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 3. Satu sampel rawak 36 cerapan mempunyai min 249.49. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ ≠ 250. Cari nilai-p p.

μ₀ = 250σ = 3n = 36x̄ = 249.49H₁: μ ≠ μ₀

p =

6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 45 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 46 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 45n₁ = 150x₂ = 46n₂ = 200

z =

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 22) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(4.5, 22)

e =

9.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “syif malam, besar”.

jumlah baris = 102jumlah lajur = 76N = 170

E =

10.Ujian khi kuasa duaSukar

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.01 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 1803 × 2α = 0.01

χ² =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3085

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33.94 kg

Piawaikan

z = (697 − 680)/33.94 = 0.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085

2.Taburan normal

Jawapan: x = 24.31 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min

Jawapan

x = 24.31 min

3.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 40.14

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 7, t = 2.365

Margin ralat

E = 2.365·10/√8 = 8.362

Selang

48.5 ± 8.362 → [40.14, 56.86]

Jawapan

had bawah = 40.14

4.Selang keyakinan

Jawapan: n = 631

Selesaikan untuk n

n = (2.576·39/4)² = 630.8

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 631

Jawapan

n = 631

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.3077

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 3/√36 = 0.5

z = (249.49 − 250)/0.5 = −1.02

Luas ekor

Φ(1.02) = 0.8461

1 − Φ(1.02) = 0.1539

Nilai-p

p = 2·0.1539 = 0.3077

Jawapan

p = 0.3077

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 1.477

Perkadaran sampel

p̂₁ = 45/150 = 0.3

p̂₂ = 46/200 = 0.23

p̂ = 91/350 = 0.26

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.26·0.74·(1/150 + 1/200)) = 0.04738

Statistik ujian

z = (0.3 − 0.23)/0.04738 = 1.477

Jawapan

z = 1.477

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9878

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 116/5 = 23.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 524.8

Pekali penentuan

r² = 144²/(40·524.8) = 0.9878

Jawapan

r² = 0.9878

Kira-kira 98.78% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.514

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 120/6 = 20

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

Garis regresi

b = −44/17.5 = −2.514

a = 20 − (−2.514)·3.5 = 28.8

ŷ = 28.8 − 2.514·x

Nilai ramalan

ŷ = 28.8 + (−2.514)·4.5 = 17.49

Reja

e = 22 − 17.49 = 4.514

Jawapan

e = 4.514

Titik itu terletak di atas garis.

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: E = 45.6

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

E = 102·76/170 = 45.6

Jawapan

E = 45.6

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 15.8

Kiraan jangkaan

loji A: 30, 10

loji B: 60, 20

loji C: 45, 15

Statistik khi kuasa dua

χ² = (28 − 30)²/30 + (12 − 10)²/10 + (71 − 60)²/60 + (9 − 20)²/20 + (36 − 45)²/45 + (24 − 15)²/15

χ² = 15.8

Keputusan

df = 2, χ²_crit = 9.210

15.8 > 9.210

Jawapan

χ² = 15.8

χ² melebihi nilai genting, maka H₀ ditolak: pemboleh ubah itu kelihatan berkaitan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference