Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian: χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05): df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan: tolak H₀ jika χ² > χ²_crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya melebihi 45.6 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 45.6 kg

P =

2.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

3.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 93.5 dan sisihan piawai s = 16.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 16x̄ = 93.5s = 16.599%t(15) = 2.947

E =

4.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.05?

p = 0.5E = 0.0599%

n =

5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 194.8 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194.8s = 15n = 16

t =

6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 106.2. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 106.2σ = 12n = 36α = 0.10

β = %

7.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

8.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 74) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(3.5, 74)

e =

9.Ujian khi kuasa duaSederhana

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 2002 × 2

χ² =

10.Ujian khi kuasa duaSukar

Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua membandingkan kiraan cerapan dalam 3 kategori dengan perkadaran jangkaan yang ditentukan sepenuhnya (tiada parameter dianggarkan daripada data). Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²_crit pada aras keertian α = 0.01.

α = 0.01

χ²_crit =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 48 kg, σ_T = 0.8·√4 = 1.6 kg

Piawaikan

z = (45.6 − 48)/1.6 = −1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8133

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133

Jawapan

P = 0.8133

3.Selang keyakinan

Jawapan: E = 12.16

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·16.5/√16 = 12.16

Jawapan

E = 12.16

4.Selang keyakinan

Jawapan: n = 664

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.05² = 663.6

Bundarkan ke atas

n = 664

Jawapan

n = 664

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.387

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

Statistik ujian

t = (194.8 − 200)/3.75 = −1.387

Jawapan

t = −1.387

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 3.453 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12/√36 = 2

x̄_c = 100 + 1.282·2 = 102.6

z di bawah min sebenar

z = (102.6 − 106.2)/2 = −1.818

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z > −1.818) = 96.55%

β = 100% − 96.55% = 3.453%

Jawapan

β = 3.453%

7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9964

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 452/6 = 75.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3071

Pekali korelasi

r = 462/√(70·3071) = 0.9964

Jawapan

r = 0.9964

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 1.95

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 345/5 = 69

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Garis regresi

b = 61/10 = 6.1

a = 69 − 6.1·3 = 50.7

ŷ = 50.7 + 6.1·x

Nilai ramalan

ŷ = 50.7 + 6.1·3.5 = 72.05

Reja

e = 74 − 72.05 = 1.95

Jawapan

e = 1.95

Titik itu terletak di atas garis.

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 0.3333

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

perokok: 80·100/200 = 40, 80·100/200 = 40

bukan perokok: 120·100/200 = 60, 120·100/200 = 60

Statistik khi kuasa dua

χ² = (42 − 40)²/40 + (38 − 40)²/40 + (58 − 60)²/60 + (62 − 60)²/60

χ² = 0.3333

Jawapan

χ² = 0.3333

df = 1. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 3.841, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ²_crit = 9.21

Darjah kebebasan

df = 3 − 1 = 2

Jadual

χ²_crit(df = 2, α = 0.01) = 9.210

Jawapan

χ²_crit = 9.210

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference