Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian
χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana
32 min34.5 minX + Y?

X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 34.5 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 34.5 min
P =
2.Taburan normalSukar
4 s0X − Y?

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
3.Selang keyakinanSederhana
n = 30, s = 17.5LU = ?x̄ = 23E95%

Satu sampel 30 item mempunyai min 23 dan sisihan piawai s = 17.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 30x̄ = 23s = 17.595%t(29) = 2.045
had atas =
4.Selang keyakinanSukar
n = 15σ = ?Us = 11.995%

Diameter 15 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 11.9 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 14, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 5.629 dan 2.5% terletak di atas 26.119.

n = 15s = 11.9 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.99801.998

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 45.35 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 45.35s = 12n = 64
t =
6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 22, kuasa 95%, n = ?

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 22. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 95%δ = 5σ = 22zα = 2.326zβ = 1.645
n =
7.Regresi linear & korelasiSederhana
xy127227322420523620xy2462025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
8.Regresi linear & korelasiSukar
xy126226321421516xy242025x = 2.5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (2.5, 20) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(2.5, 20)
e =
9.Ujian khi kuasa duaSederhana
rendahsederhanatinggiJumlahbandar22221357luar bandar10143357Jumlah323646114

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Bagi ujian kebebasan khi kuasa dua, cari kiraan jangkaan E untuk sel “luar bandar, tinggi”.

jumlah baris = 57jumlah lajur = 46N = 114
E =
10.Ujian khi kuasa duaSukar
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

Satu ujian kebagusan penyuaian khi kuasa dua menyemak sama ada kiraan dalam 6 kategori mengikut taburan Poisson yang puratanya dianggarkan daripada data yang sama. Dengan menggunakan jadual, cari nilai genting χ²crit pada aras keertian α = 0.01.

α = 0.01
χ²crit =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1587

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

Piawaikan

z = (34.5 − 32)/2.5 = 1

Ekor atas

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587
2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881
3.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 29.53

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 2.045

Margin ralat

E = 2.045·17.5/√30 = 6.534

Selang

23 ± 6.534 → [16.47, 29.53]

Jawapan

had atas = 29.53
4.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 8.712 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 14·11.9² = 1983

Had bagi σ²

1983/26.119 = 75.9
1983/5.629 = 352.2

Had bagi σ

σ = √75.9 = 8.712 µm

Jawapan

σ = 8.712 µm

Selang 95% bagi σ: [8.712, 18.77] µm.

5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5

Statistik ujian

t = (45.35 − 50)/1.5 = −3.1

Jawapan

t = −3.1
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 306

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.645)·22/5)² = 305.3

Bundarkan ke atas

n = 306

Jawapan

n = 306
7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.6748

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 139/6 = 23.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50.83

Pekali penentuan

r² = −24.5²/(17.5·50.83) = 0.6748

Jawapan

r² = 0.6748

Kira-kira 67.48% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −3.25

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 110/5 = 22

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

Garis regresi

b = −25/10 = −2.5
a = 22 − (−2.5)·3 = 29.5
ŷ = 29.5 − 2.5·x

Nilai ramalan

ŷ = 29.5 + (−2.5)·2.5 = 23.25

Reja

e = 20 − 23.25 = −3.25

Jawapan

e = −3.25

Titik itu terletak di bawah garis.

9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: E = 23

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

E = 57·46/114 = 23

Jawapan

E = 23
10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ²crit = 13.28

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Darjah kebebasan

df = 6 − 1 − 1 = 4

Jadual

χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

Jawapan

χ²crit = 13.277

Tolak H₀ jika χ² yang dihitung lebih besar daripada nilai ini.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference