Statistik 2: Inferens Statistik: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

Ujian khi kuasa dua

Statistik ujian
χ² = Σ(O − E)²/E
Kebagusan penyuaian
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Kebebasan
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Nilai genting (α = 0.05)
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
Keputusan
tolak H0 jika χ² > χ²crit

2Soalan latihan

1.Taburan normalSederhana
105 s99.9 sX + Y?

X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 99.9 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99.9 s
P =
2.Taburan normalSukar
0.04 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.04 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
3.Selang keyakinanSederhana
n = 25, s = 16.5L = ?Ux̄ = 37E90%

Satu sampel 25 item mempunyai min 37 dan sisihan piawai s = 16.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 25x̄ = 37s = 16.590%t(24) = 1.711
had bawah =
4.Selang keyakinanSukar
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

Sisihan piawai populasi ialah 12. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 12E = 299%
n =
5.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
1.16p = ?

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 40. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 254.64. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ > 250. Cari nilai-p p.

μ₀ = 250σ = 40n = 100x̄ = 254.64H₁: μ > μ₀
p =
6.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 122.4. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 122.4σ = 8n = 2595%
U =
7.Regresi linear & korelasiSederhana
xy274116168251031xy510102030

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 90Σx² = 220Σy² = 2012Σxy = 664
r =
8.Regresi linear & korelasiSukar
xy248351462566671xy246506070x = 2.5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.5.

n = 5x = 2.5
ŷ =
9.Ujian khi kuasa duaSederhana
rendahsederhanatinggiJumlahbandar6142040luar bandar222850100Jumlah284270140

Jadual kontingensi menunjukkan kiraan cerapan. Hitung statistik khi kuasa dua χ² bagi ujian kebebasan antara pemboleh ubah baris dengan pemboleh ubah lajur. Jangan gunakan pembetulan kesinambungan.

N = 1402 × 3
χ² =
10.Ujian khi kuasa duaSukar
yatidakJumlahtalian 1251540talian 2192140talian 3402060Jumlah8456140dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

Jadual menunjukkan kiraan cerapan. Uji pada α = 0.05 sama ada kedua-dua pemboleh ubah itu bebas (tanpa pembetulan kesinambungan). Hitung statistik ujian χ², kemudian bandingkan dengan nilai genting daripada jadual.

N = 1403 × 2α = 0.05
χ² =

3Larutan

1.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

Piawaikan

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881
2.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9868

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

Jawapan

P = 0.9868
3.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 31.35

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 24, t = 1.711

Margin ralat

E = 1.711·16.5/√25 = 5.646

Selang

37 ± 5.646 → [31.35, 42.65]

Jawapan

had bawah = 31.35
4.Selang keyakinan

Jawapan: n = 239

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·12/2)² = 238.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 239

Jawapan

n = 239
5.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.123

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (254.64 − 250)/4 = 1.16

Luas ekor

Φ(1.16) = 0.8770
1 − Φ(1.16) = 0.1230

Nilai-p

p = 0.123

Jawapan

p = 0.123

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

6.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 125.5

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·8/√25 = 3.136

Had selang

U = 122.4 + 3.136 = 125.5

Jawapan

U = 125.5
7.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9903

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 664 − 30·90/5 = 124
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2012 − 90²/5 = 392

Pekali korelasi

r = 124/√(40·392) = 0.9903

Jawapan

r = 0.9903
8.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 50.45

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 298/5 = 59.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

Garis regresi

b = 61/10 = 6.1
a = 59.6 − 6.1·4 = 35.2
ŷ = 35.2 + 6.1·x

Ramalan

ŷ = 35.2 + 6.1·2.5 = 50.45

Jawapan

ŷ = 50.45
9.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 1.167

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

bandar: 40·28/140 = 8, 40·42/140 = 12, 40·70/140 = 20
luar bandar: 100·28/140 = 20, 100·42/140 = 30, 100·70/140 = 50

Statistik khi kuasa dua

χ² = (6 − 8)²/8 + (14 − 12)²/12 + (20 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20 + (28 − 30)²/30 + (50 − 50)²/50
χ² = 1.167

Jawapan

χ² = 1.167

df = 2. Pada α = 0.05 nilai gentingnya ialah 5.991, maka H₀ (kebebasan) tidak ditolak.

10.Ujian khi kuasa dua

Jawapan: χ² = 3.819

Ujian khi kuasa dua: bandingkan kiraan cerapan O dengan kiraan jangkaan E di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Kebagusan penyuaian: E = n·p bagi setiap kategori, df = k − 1 (tolak satu lagi bagi setiap parameter yang dianggarkan daripada data). Kebebasan dalam jadual r × c: E = jumlah baris × jumlah lajur / jumlah keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ apabila χ² melebihi nilai genting bagi α yang dipilih.

Kiraan jangkaan

talian 1: 24, 16
talian 2: 24, 16
talian 3: 36, 24

Statistik khi kuasa dua

χ² = (25 − 24)²/24 + (15 − 16)²/16 + (19 − 24)²/24 + (21 − 16)²/16 + (40 − 36)²/36 + (20 − 24)²/24
χ² = 3.819

Keputusan

df = 2, χ²crit = 5.991
3.819 < 5.991

Jawapan

χ² = 3.819

χ² berada di bawah nilai genting, maka H₀ tidak ditolak: tiada bukti yang signifikan tentang hubungan.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference