Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Ia membawa beban titik P pada 4 m dari A dan pasangan daya lawan arah jam M pada 3 m dari A. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

L = 10 mP = 70 kN pada 4 mM = 15 kN·m (lawan arah jam) pada 3 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk disokong mudah itu mempunyai pin di A dan penggelek di B. Beban P bertindak pada 5 m dari A, condong pada 30° kepada garis mengufuk, dan beban menegak Q bertindak pada 7 m dari A. Cari magnitud daya tindak balas jumlah R_A pada pin A.

L = 8 mP = 50 kN pada 5 m, θ = 30°Q = 20 kN pada 7 m

R_A = kN

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 60 kN·m pada x = 2 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kanan pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 4 mM₀ = 60 kN·m ikut arah jam, pada 2 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 6 mP = 20 kN pada 4 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 6 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 5 mtinggi = 3 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 50 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 4 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 45 kNbeban mengufuk = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1.5 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 7 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 16 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 95 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 95 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 26.5 kN

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan.

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 70·4 + 15 = 0

R_B = 265/10 = 26.5 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 70 − 26.5 = 43.5 kN

Jawapan

R_B = 26.5 kN

Tindak balas negatif bertindak ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_A = 44.9 kN

Komponen P

P_v = 50·sin 30° = 25 kN

P_h = 50·cos 30° = 43.3 kN

Tindak balas

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·5 + 20·7 → R_B = 33.13 kN

A_y = 25 + 20 − 33.13 = 11.88 kN

A_x = P_h = 43.3 kN

Paduan pada A

R_A = √(43.3² + 11.88²) = 44.9 kN

Jawapan

R_A = 44.9 kN

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 30 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/4 = 15 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −15 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kanan pasangan daya

Bahagian kiri kini mengandungi R_A dan pasangan daya.

M_x = R_A·a + M₀ = −15·2 + 60 = 30 kN·m

Jawapan

M_x = 30 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 8.833 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·4 + 4·6·3

R_B = 152/6 = 25.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 25.33 = 18.67 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 18.67·0.5 − 4·0.5·0.25 = 8.833 kN·m

Jawapan

M_x = 8.833 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −36.06 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 20 = 30 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −30/0.8321 = −36.06 kN

Jawapan

F_AB = −36.06 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = −1.667 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 − 25·4 → C_y = −1.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − −1.667 = 46.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1.667/0.7071 = 2.357 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(2.357)·0.7071 = −1.667 kN

Jawapan

F_AC = −1.667 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 20.13 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.474 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.004474 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 20.13 mm

Jawapan

δ_B = 20.13 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 14.7 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 16000·1000·(3·5000² − 4·1000²)/(48·1.61 × 10¹²) = 14.7 mm

Jawapan

δ_mid = 14.7 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 3.109 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/5000² = 3109 N = 3.109 kN

Jawapan

P_cr = 3.109 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 58.57 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.57 mm

Jawapan

d = 58.57 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 136.6, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis