Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 2 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 5 mP = 35 kN pada 2 mw = 10 kN/m dari 0 hingga 5 m

M_A = kN·m

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk julur terikat pada dinding di A. Ia membawa beban yang berubah secara linear iaitu 8 kN/m pada dinding dan menurun kepada sifar di hujung bebas B, ditambah beban titik P pada 1.5 m dari dinding. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

L = 5 mw₀ = 8 kN/mP = 80 kN pada 1.5 m

M_A = kN·m

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 0.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 0.5 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

35 kN @ 12 m50 kN @ 6 m10 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AB dalam anggota AB. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 6 mtinggi = 2 mB ialah 2 m dari Abeban tegak = 15 kN

F_AB = kN

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Gunakan kaedah sambungan untuk mencari daya F_AC dalam anggota AC. Berikan tegangan sebagai positif dan mampatan sebagai negatif.

rentang = 4 mtinggi = 4 mB ialah 3 m dari Abeban tegak = 15 kNbeban mengufuk = 30 kN ←

F_AC = kN

7.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 5 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 75 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/250. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 75 mm

h_req = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 195 kN·m

Keseimbangan julur: penyokong tetap boleh menolak ke atas dan juga menentang putaran, maka ia memberikan tindak balas menegak R_A dan momen tindak balas M_A. ΣF_y = 0 memberikan R_A, dan momen pada dinding memberikan M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban teragih bertindak sebagai daya paduannya pada sentroid gambar rajah beban.

Daya paduan beban teragih

W = 10·5 = 50 kN, x̄ = 2.5 m

Momen pada dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 35·2 + 50·2.5 = 195 kN·m

Jawapan

M_A = 195 kN·m

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 153.3 kN·m

Daya paduan beban segi tiga

W = ½·8·5 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

Momen pada dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1.667 + 80·1.5 = 153.3 kN·m

Jawapan

M_A = 153.3 kN·m

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 3.75 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Potong pada x = 0.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 8·0.5 − 2·0.5·0.25 = 3.75 kN·m

Jawapan

M_x = 3.75 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 63 kN, R₂ = 122 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 106, M_C = 172, M_D = 198 kN·m, M_E = 84, M_F = −70, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 198 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AB = −14.14 kN

Kaedah sambungan: setiap pin kekuda berada dalam keseimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 pada setiap sambungan. Mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui. Hasil negatif bermaksud anggota berada dalam mampatan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·2 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 5 = 10 kN

Sambungan A

Andaikan setiap anggota berada dalam tegangan (menarik menjauhi sambungan). Hanya AB mempunyai komponen tegak pada A.

sin α = 2/2.828 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −10/0.7071 = −14.14 kN

Jawapan

F_AB = −14.14 kN (mampatan)

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: F_AC = −4.688 kN

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh kekuda. Momen pada A, lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 − 30·4 → C_y = −18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −18.75 = 33.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Sambungan C

Penggelek hanya memberikan tindak balas tegak, jadi sambungan C hanya mempunyai dua daya anggota yang tidak diketahui. Andaikan kedua-duanya dalam tegangan.

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−18.75/0.9701 = 19.33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(19.33)·0.2425 = −4.688 kN

Jawapan

F_AC = −4.688 kN (mampatan)

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 58.81 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·4000³/(3·3.99 × 10¹²) = 26.73 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 32.08 mm

Tambahkannya

δ = 26.73 + 32.08 = 58.81 mm

Jawapan

δ = 58.81 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 172.3 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·12) = 3.196 × 10⁷ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·3.196 × 10⁷/75)^1/3 = 172.3 mm

Jawapan

h_req = 172.3 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 992.2 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992.2 kN

Jawapan

P_cr = 992.2 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 69.09 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

Jawapan

σ_cr = 69.09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis