Analisis Struktur: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 10 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tindak balas penyokong rasuk

Keseimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban seragam: paduan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Kaedah

Lukis gambar rajah jasad bebas dan gantikan setiap penyokong dengan tindak balasnya.
Gantikan setiap beban teragih dengan satu daya pada sentroidnya.
Ambil momen pada satu penyokong untuk mencari tindak balas pada penyokong yang lain.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari tindak balas yang tinggal, dan semak dengan persamaan momen kedua.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Kekuda: kaedah sambungan

Kaedah sambungan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kaedah keratan: ΣM = 0 about a cut point
Daya anggota: positif = tegangan, negatif = mampatan

Kaedah

Cari tindak balas penyokong bagi keseluruhan kekuda.
Kaedah sambungan: mulakan pada sambungan dengan paling banyak dua daya anggota yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Kaedah keratan: potong melalui anggota yang anda perlukan dan ambil momen pada titik di mana anggota tidak diketahui yang lain bertemu.
Andaikan tegangan; jawapan negatif bermaksud mampatan.

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tindak balas penyokong rasukSederhana

Rasuk itu mempunyai pin di A dan penggelek di B, 4.5 m dari A, dan menjulur melepasi B hingga hujung bebas C. Cari tindak balas menegak R_B, dengan ke atas sebagai positif.

AB = 4.5 mAC = 6 mP₁ = 25 kN pada 3 mP₂ = 80 kN pada 6 m

R_B = kN

2.Tindak balas penyokong rasukSukar

Rasuk majmuk terikat pada dinding di A, mempunyai engsel dalaman di C (3 m dari A) dan bertumpu pada penggelek di D (8 m dari A). Ia membawa beban titik P pada 6 m dari A dan beban titik Q pada 2 m dari A. Cari magnitud momen tindak balas M_A pada dinding.

AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN pada 6 mQ = 65 kN pada 2 m

M_A = kN·m

3.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 9 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

4.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

60 kN @ 0 m50 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.Kekuda: kaedah sambunganSederhana

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

G: 20 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota BG
13anggota DG

6.Kekuda: kaedah sambunganSukar

Tepat satu anggota kekuda ini tidak membawa daya di bawah beban ini. Yang manakah anggota daya sifar? Klik padanya dalam rajah.

C: 40 kN ↓D: 25 kN ↓F: 25 kN →G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓

1anggota AB
2anggota BC
3anggota CD
4anggota DE
5anggota FG
6anggota GH
7anggota AF
8anggota HE
9anggota BF
10anggota CG
11anggota DH
12anggota FC
13anggota HC

7.Pesongan rasukSederhana

Julur membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada hujung bebasnya. Dengan menggunakan superposisi, cari pesongan δ pada hujung bebas.

P = 25 kNw = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan δ_mid di tengah rentang.

P = 27 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: R_B = 123.3 kN

Momen pada A

Lawan arah jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·4.5 = 25·3 + 80·6

R_B = 555/4.5 = 123.3 kN

Keseimbangan menegak

R_A = 25 + 80 − 123.3 = −18.33 kN

Jawapan

R_B = 123.3 kN

R_A negatif: pin di A perlu menahan rasuk ke bawah.

2.Tindak balas penyokong rasuk

Jawapan: M_A = 166 kN·m

Keseimbangan statik: jasad yang pegun mempunyai ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 dan ΣM = 0 pada mana-mana titik. Gantikan setiap beban teragih dengan daya paduannya (luasnya) yang bertindak pada sentroid gambar rajah beban, dan ambil momen pada satu penyokong untuk menghapuskan tindak balas penyokong itu daripada persamaan. Engsel dalaman tidak boleh menanggung momen lentur, yang memberikan satu persamaan tambahan: momen pada engsel bagi daya di kedua-dua sisi ialah sifar.

Bahagian CD

Engsel tiada momen, maka momen pada C bagi CD sahaja mesti seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 30·3

R_D = 18 kN

V_C = 30 − 18 = 12 kN

Bahagian AC

Daya engsel V_C bertindak ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan dengan tindakannya pada CD).

R_A = 65 + 12 = 77 kN

M_A = 65·2 + 12·3 = 166 kN·m

Jawapan

M_A = 166 kN·m

3.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 9 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Potong pada x = 9 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 10·9 − 2·9·4.5 = 9 kN·m

Jawapan

M_x = 9 kN·m

4.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 46.67 kN, R₂ = 63.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −146.7, M_D = −173.3, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −200 kN·m

5.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota CG

Anggota daya sifar: pada sendi, daya mesti seimbang dalam setiap arah. Jika sendi tidak mempunyai beban dan tiada penyokong, dan dua daripada tiga anggotanya segaris, maka imbangan merentasi garisan itu hanya melibatkan anggota ketiga, jadi dayanya sifar. Jika hanya dua anggota bertemu pada sendi tanpa beban dan keduanya tidak segaris, kedua-duanya sifar.

Sendi C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 7.5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7.5 kN (T), FG: 7.5 kN (C), GH: 7.5 kN (C), AF: 12.5 kN (C), HE: 12.5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12.5 kN (C), DG: 12.5 kN (C)

Jawapan

Anggota daya sifar: CG

6.Kekuda: kaedah sambungan

Jawapan: anggota BF

Sendi B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan sendi tidak membawa beban. Mengimbangkan daya merentasi garisan itu meninggalkan hanya BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Semak dengan kaedah sendi

Menyelesaikan semua sendi memberikan daya anggota ini (T = tegangan, C = mampatan).

AB: 72.08 kN (T), BC: 72.08 kN (T), CD: 99.58 kN (T), DE: 99.58 kN (T), FG: 119.2 kN (C), GH: 119.2 kN (C), AF: 58.85 kN (C), HE: 124.5 kN (C), BF: 0, CG: 10 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 58.85 kN (T), HC: 24.48 kN (T)

Jawapan

Anggota daya sifar: BF

7.Pesongan rasuk

Jawapan: δ = 59.05 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 25000 N, w = 4 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(3EI) = 25000·4000³/(3·1.12 × 10¹³) = 47.62 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 11.43 mm

Tambahkannya

δ = 47.62 + 11.43 = 59.05 mm

Jawapan

δ = 59.05 mm

8.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_mid = 29.46 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 27000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan di tengah rentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 27000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·8.4 × 10¹¹) = 29.46 mm

Jawapan

δ_mid = 29.46 mm

9.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 4.406 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4200² = 4406 N = 4.406 kN

Jawapan

P_cr = 4.406 kN

10.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 50.5 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 50.5 mm

Jawapan

d = 50.5 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 118.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis