Oefenopgaven AP Calculus: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen: probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig: deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel van L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode: schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halveringstijd: k = ln 2 / t_½
Afkoelingswet van Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrerende factor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mengtank: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylorpolynoom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld

Bereken de limiet L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.LimietenMoeilijk

Bereken de limiet L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), met x in radialen.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = (4x + 3)⁴. Bereken f′(1).

f(x) = (4x + 3)⁴x = 1

f′(1) =

4.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ + 6x² + 6. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.

f(x) = x³ + 6x² + 6

x =

5.OptimalisatieGemiddeld

Een rechthoekig perceel van 800 m² wordt aan alle vier de zijden omheind. De zijde langs de straat, met lengte x, kost €40 per meter; de andere drie zijden kosten €12 per meter. Bereken de minimale totale kosten C.

A = 800 m²€40/m€12/m

C = €

6.OptimalisatieMoeilijk

Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 190 − 2q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 400 + 110q euro. Bereken de wekelijkse productie q die de winst maximaliseert.

p = 190 − 2qC = 400 + 110q

q = stuks

7.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₂⁴ 2/x dx.

f(x) = 2/x[2, 4]

I =

8.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

9.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld

Een kop koffie van 92 °C wordt achtergelaten in een kamer van 24 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,11 min⁻¹ de temperatuur T na 5 min.

T₀ = 92 °CT_a = 24 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 5 min

T = °C

10.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk

Los y′ + 3y = 10e^−t op met y(0) = 2. Bereken y(2).

y′ + 3y = 10e^−ty(0) = 2

y(2) =

11.Rijen & reeksenGemiddeld

Bepaal de som S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)).

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

12.Rijen & reeksenMoeilijk

f(x) = cos x wordt benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad 5 in x = 0,5. Gebruik de Lagrange-foutgrens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! met M = 1 om de grootst mogelijke fout |R₅| te vinden.

f(x) = cos xn = 5x = 0,5M = 1

|R₅| =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 4

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Vermenigvuldig met de geconjugeerde

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Deel door x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Laat x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Antwoord

L = 4

2.Limieten

Antwoord: L = 0,6667

Regel van L'Hôpital

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Vul x = 0 in

L = 2/3 = 0,6667

Antwoord

L = 0,6667

3.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = 5488

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 4·(4x + 3)³·4

Invullen

f′(1) = 4·7³·4 = 5488

Antwoord

f′(1) = 5488

4.Afgeleiden

Antwoord: x = −4

Afgeleide

f′(x) = 3x² + 12x = 3·(x² + 4x)

f′(x) = 0 oplossen

x = −4 of x = 0

Welke is welke

f″(x) = 6x + 12: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12

x = −4

Antwoord

x = −4

5.Optimalisatie

Antwoord: C = 1998 €

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Kosten als functie van x

C(x) = 52x + 19200/x

Afgeleide gelijk aan nul stellen

C″(x) = 38400/x³ > 0, dus dit is een minimum.

x = √(19200/52) = 19,22 m

y = 800/19,22 = 41,63 m

Minimale kosten

C = 52·19,22 + 19200/19,22 = €1998

Antwoord

C = €1998

6.Optimalisatie

Antwoord: q = 20 stuks

Winstfunctie

P(q) = (190 − 2q)·q − (400 + 110q) = −2q² + 80q − 400

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −4 < 0, dus dit is een maximum.

q = 80/4 = 20

Prijs en winst

p = 190 − 2·20 = €150

P = 80·20 − 2·20² − 400 = €400

Antwoord

q = 20

7.Integralen

Antwoord: I = 1,386

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 2·ln x

Grenzen invullen

I = 2·(ln 4 − ln 2) = 2·ln 2 = 1,386

Antwoord

I = 1,386

8.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

9.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: T = 63,23 °C

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·e^kt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Oplossing van de afkoelingswet

T(t) = 24 + 68·e^−0,11t

Vul t in

T(5) = 24 + 68·0,5769 = 63,23 °C

Antwoord

T = 63,23 °C

10.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(2) = 0,6692

Integrerende factor

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 10e^2t

Algemene oplossing

y = 10/2·e^−t + C·e^−3t = 5·e^−t + C·e^−3t

Beginvoorwaarde

2 = 5 + C → C = −3

Bereken

y(2) = 5·0,1353 + (−3)·0,002479 = 0,6692

Antwoord

y(2) = 0,6692

11.Rijen & reeksen

Antwoord: S = 1,833

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; wortelcriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σc_k(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |c_k/c_k+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuleren

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Antwoord

S = 1,833

12.Rijen & reeksen

Antwoord: |R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

Grens op de afgeleide

M = 1

Lagrange-grens

|R₅| ≤ 1·0,5⁶/6! = 2,17 × 10⁻⁵

Antwoord

|R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

De werkelijke fout is kleiner: |f(0,5) − P₅(0,5)| = 2,16 × 10⁻⁵.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice