Inleiding statistiek: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 12 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde: x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan: middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score: z = (x − μ)/σ
Normale verdeling: 68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement: P(not A) = 1 − P(A)
Somregel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normale verdeling

z-score: z = (x − μ)/σ
Onder x: P(X < x) = Φ(z)
Boven x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentiel: x = μ + z·σ

Methode

Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend: x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang: n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%: verwerp H₀ als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z·σ/√n

Methode

Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling: b = S_xy/S_xx
Snijpunt met de y-as: a = ȳ − b·x̄
Correlatie: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residu: e = y − ŷ

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 46, 22, 53, 24, 59, 45, 10.

n = 7

s =

2.Beschrijvende statistiekMoeilijk

Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 112,5?

μ = 100σ = 10x = 112,5

P =

3.KansrekeningGemiddeld

Een zak bevat 5 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?

5 / 3

P =

4.KansrekeningMoeilijk

Een spel kost €2 inzet. Je wint €8 met kans 0,3 en €20 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.

inzet = €2€8: p = 0,3€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Normale verdelingGemiddeld

Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,9686 is. Bepaal z op twee decimalen.

A = 0,9686

z =

6.Normale verdelingMoeilijk

De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 46 en standaardafwijking s = 13. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 20x̄ = 46s = 1390%t(19) = 1,729

E =

8.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

De standaardafwijking van de populatie is 40. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?

σ = 40E = 399%

n =

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 60 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 98,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 4 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 96,9 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 60x̄₁ = 98,5 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 100x̄₂ = 96,9 mmσ₂ = 11 mm

z =

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk

Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 4 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 12. Bereken de minimale steekproefomvang n.

α = 0,01onderscheidend vermogen = 90%δ = 4σ = 12z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.

n = 6

r² =

12.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk

De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (7, 31) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.

n = 6(7, 31)

e =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 18,29

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 259/7 = 37

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = 9² + (−15)² + 16² + (−13)² + 22² + 8² + (−27)² = 2008

Standaardafwijking

s = √(2008/6) = 18,29

Antwoord

s = 18,29

2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: P = 0,1056

Standaardiseren

z = 1,25

Tabel standaardnormale verdeling

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Antwoord

P = 0,1056

3.Kansrekening

Antwoord: P = 0,3571

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Eerste en tweede trekking

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Antwoord

P = 0,3571

4.Kansrekening

Antwoord: E(G) = 0,6 €

Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σ_Y = |a|·σ_X; een constante optellen verandert de spreiding niet.

Netto-uitkomsten

G: 6 (p = 0,3), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,69)

Verwachtingswaarde

E(G) = 6·0,3 + 18·0,01 − 2·0,69 = 0,6 €

Antwoord

E(G) = 0,6 €

Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.

5.Normale verdeling

Antwoord: z = −1,86

Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.

Oppervlak links van z

Φ(z) = 1 − 0,9686 = 0,0314

Lees de z-tabel achterstevoren

Zoek 0,0314 in de tabel en lees z af.

z = −1,86

Antwoord

z = −1,86

6.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,8413

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dus σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van het verschil

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standaardiseren

z = (0 − 10)/10 = −1

Kansrekening

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Antwoord

P = 0,8413

7.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,026

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Kritieke waarde

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Foutmarge

E = 1,729·13/√20 = 5,026

Antwoord

E = 5,026

8.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 1180

n oplossen

n = (2,576·40/3)² = 1180

Naar boven afronden

Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.

n = 1180

Antwoord

n = 1180

9.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = 1,317

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(4²/60 + 11²/100) = √1,477 = 1,215

Toetsingsgrootheid

z = (98,5 − 96,9)/1,215 = 1,317

Antwoord

z = 1,317

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

10.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: n = 118

Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.

n oplossen

n = ((2,326 + 1,282)·12/4)² = 117,2

Naar boven afronden

n = 118

Antwoord

n = 118

11.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r² = 0,9673

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 530/6 = 88,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2531

Determinatiecoëfficiënt

r² = 414²/(70·2531) = 0,9673

Antwoord

r² = 0,9673

Ongeveer 96,73% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.

12.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: e = 1,667

Gemiddelden

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 176/6 = 29,33

Kwadraten- en productsommen

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 308

Regressielijn

b = 308/70 = 4,4

a = 29,33 − 4,4·7 = −1,467

ŷ = −1,467 + 4,4·x

Voorspelde waarde

ŷ = −1,467 + 4,4·7 = 29,33

Residu

e = 31 − 29,33 = 1,667

Antwoord

e = 1,667

Het punt ligt boven de lijn.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1