Oefenopgaven AP Statistics: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 14 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Beschrijvende statistiek

Gemiddelde
x̄ = Σx/n
Steekproefstandaardafwijking
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediaan
middelste waarde van de gesorteerde gegevens
z-score
z = (x − μ)/σ
Normale verdeling
68% binnen ±1σ, 95% binnen ±2σ

Kansrekening

Complement
P(not A) = 1 − P(A)
Somregel
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Onafhankelijke gebeurtenissen
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Voorwaardelijke kans
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiaal
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normale verdeling

z-score
z = (x − μ)/σ
Onder x
P(X < x) = Φ(z)
Boven x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tussen
Φ(z2) − Φ(z1)
Percentiel
x = μ + z·σ

Methode

  1. Reken de waarde om naar een z-score: z = (x − μ)/σ.
  2. Zoek Φ(z) op, het oppervlak links van z.
  3. Gebruik voor het oppervlak rechts 1 − Φ(z); trek voor een interval de twee linkeroppervlakken van elkaar af.
  4. Werk voor een percentiel terug: zoek z bij het oppervlak, dan x = μ + z·σ.

Lineaire regressie en correlatie

Kwadratensommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Helling
b = Sxy/Sxx
Snijpunt met de y-as
a = ȳ − b·x̄
Correlatie
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residu
e = y − ŷ

Betrouwbaarheidsintervallen

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Methode

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Methode

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Chikwadraattoetsen

Toetsingsgrootheid
χ² = Σ(O − E)²/E
Aanpassingstoets
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Onafhankelijkheid
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Kritieke waarden (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Beslissing
verwerp H0 als χ² > χ²crit

2Oefenopgaven

1.Beschrijvende statistiekGemiddeld
15202530354045

Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 17, 45, 31, 14, 25.

n = 5
s =
2.Beschrijvende statistiekMoeilijk
z −2−1012

Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 176.

μ = 170σ = 15x = 176
z =
3.KansrekeningGemiddeld
n = 12k = 5N = ?

Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.

n = 12k = 5
N =
4.KansrekeningMoeilijk
n = 7, p = 0,6: P(X = 1) = ?k01234567

Een toets heeft 7 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?

n = 7p = 0,6k = 1
P =
5.Normale verdelingGemiddeld
32 min34 minX + Y?

X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 34 min. Rond z af op twee decimalen.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34 min
P =
6.Normale verdelingMoeilijk
μ = 65x = ?5%

De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).

μ = 65σ = 10P = 5%
x = punten
7.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
xy156917741977219923104xy152080100

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.

n = 5
r =
8.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
xy155359560775982xy5607080x = 4

De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4.

n = 5x = 4
ŷ =
9.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 134,5 h, bekende standaardafwijking 17 h. Model 2: 40 telefoons, gemiddelde 142 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 134,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 40x̄₂ = 142 hσ₂ = 12 h95%
E = h
10.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
μ₁ − μ₂, t(19) = 2,0930LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 10 proefvelden, gemiddelde opbrengst 90 kg, standaardafwijking 2 kg. Groep 2: 11 proefvelden, gemiddelde 79 kg, standaardafwijking 4 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 90s₁ = 2n₂ = 11x̄₂ = 79s₂ = 495%t(19) = 2,093
E = kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
−1,961,96z = ?

Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 80 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 66 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 4 mm. Lijn 2: een steekproef van 30 onderdelen heeft gemiddelde 70,3 mm, bekende standaardafwijking 13 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).

n₁ = 80x̄₁ = 66 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 30x̄₂ = 70,3 mmσ₂ = 13 mm
z =
12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
−1,961,96z = ?

In een onderzoek herstellen 36 van de 120 patiënten met behandeling A en 43 van de 100 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 43n₂ = 100
z =
13.ChikwadraattoetsenGemiddeld
geen defectkleingrootTotaaldagdienst31204495nachtdienst33191466Totaal643958161

De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken voor een chikwadraattoets op onafhankelijkheid het verwachte aantal E voor de cel “nachtdienst, klein”.

rijtotaal = 66kolomtotaal = 39N = 161
E =
14.ChikwadraattoetsenMoeilijk
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Een chikwadraat-aanpassingstoets controleert of aantallen in 6 categorieën een Poissonverdeling volgen waarvan het gemiddelde uit dezelfde data is geschat. Zoek met de tabel de kritieke waarde χ²crit bij significantieniveau α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Oplossingen

1.Beschrijvende statistiek

Antwoord: s = 12,36

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Gemiddelde

x̄ = 132/5 = 26,4

Gekwadrateerde afwijkingen

Σ(x − x̄)² = (−9,4)² + 18,6² + 4,6² + (−12,4)² + (−1,4)² = 611,2

Standaardafwijking

s = √(611,2/4) = 12,36

Antwoord

s = 12,36
2.Beschrijvende statistiek

Antwoord: z = 0,4

Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.

Standaardiseren

z = (176 − 170)/15 = 0,4

Antwoord

z = 0,4
3.Kansrekening

Antwoord: N = 792

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinaties

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Antwoord

N = 792
4.Kansrekening

Antwoord: P = 0,0172

Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binomiale formule

P(X = 1) = 7·0,61·0,46 = 7·0,6·0,004096 = 0,0172

Antwoord

P = 0,0172
5.Normale verdeling

Antwoord: P = 0,2119

Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.

Verdeling van de som

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standaardiseren

z = (34 − 32)/2,5 = 0,8

Rechterstaart

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Antwoord

P = 0,2119
6.Normale verdeling

Antwoord: x = 48,55 punten

Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.

z voor het percentiel

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Terug naar x

x = 65 + −1,645·10 = 48,55 punten

Antwoord

x = 48,55 punten
7.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: r = 0,9513

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 95/5 = 19
ȳ = 423/5 = 84,6

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Syy = Σ(y − ȳ)² = 997,2

Correlatiecoëfficiënt

r = 190/√(40·997,2) = 0,9513

Antwoord

r = 0,9513
8.Lineaire regressie en correlatie

Antwoord: ŷ = 62,7

Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.

Gemiddelden

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 331/5 = 66,2

Kwadraten- en productsommen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Regressielijn

b = 140/40 = 3,5
a = 66,2 − 3,5·5 = 48,7
ŷ = 48,7 + 3,5·x

Voorspelling

ŷ = 48,7 + 3,5·4 = 62,7

Antwoord

ŷ = 62,7
9.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 5,686 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Puntschatting

x̄₁ − x̄₂ = 134,5 − 142 = −7,5

Standaardfout

SE = √(17²/60 + 12²/40) = 2,901

Foutmarge

E = 1,96·2,901 = 5,686

Antwoord

E = 5,686 h

Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.

10.Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: E = 2,937 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Gepoolde standaardafwijking

sp² = (9·2² + 10·4²)/19 = 10,32
sp = 3,212

Foutmarge

E = 2,093·3,212·√(1/10 + 1/11) = 2,937

Antwoord

E = 2,937 kg
11.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −1,78

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Standaardfout van het verschil

SE = √(4²/80 + 13²/30) = √5,833 = 2,415

Toetsingsgrootheid

z = (66 − 70,3)/2,415 = −1,78

Antwoord

z = −1,78

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

12.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Antwoord: z = −2,001

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Steekproeffracties

p̂₁ = 36/120 = 0,3
p̂₂ = 43/100 = 0,43
p̂ = 79/220 = 0,3591

Standaardfout onder H₀

SE = √(0,3591·0,6409·(1/120 + 1/100)) = 0,06496

Toetsingsgrootheid

z = (0,3 − 0,43)/0,06496 = −2,001

Antwoord

z = −2,001

|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

13.Chikwadraattoetsen

Antwoord: E = 15,99

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Verwacht aantal

E = 66·39/161 = 15,99

Antwoord

E = 15,99
14.Chikwadraattoetsen

Antwoord: χ²crit = 13,28

Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.

Vrijheidsgraden

df = 6 − 1 − 1 = 4

Tabel

χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Antwoord

χ²crit = 13,277

Verwerp H₀ als de berekende χ² groter is dan deze waarde.

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-statistics-practice