Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen
probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig
deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regel van L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

  1. Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
  2. Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
  3. Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
  4. Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode
schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld
xyy = L

Bereken de limiet L = limx→∞ (1 − 2/x)3x. Geef een decimale waarde.

f(x) = (1 − 2/x)3xx → ∞
L =
2.LimietenMoeilijk
xyx = 0

Bereken de limiet L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.AfgeleidenGemiddeld
xyx = 1

Gegeven f(x) = (−2x − 3)3. Bereken f′(1).

f(x) = (−2x − 3)3x = 1
f′(1) =
4.AfgeleidenMoeilijk
xy

Gegeven f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x + 3. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.

f(x) = x3 − 7,5x2 + 18x + 3
x =
5.OptimalisatieGemiddeld
rh

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 750 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de hoogte h van het blik waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 750 cm³
h = cm
6.OptimalisatieMoeilijk
qP(q)maximum

Een klein bedrijf verkoopt zijn product tegen een vaste marktprijs van €30 per eenheid. Het produceren van q eenheden kost C(q) = 1000 + 16q + 0,02q² euro. Bereken de maximale winst P.

p = €30C = 1000 + 16q + 0,02q²
P = €
7.IntegralenGemiddeld
xy02

Bereken I = ∫02 e2x dx.

f(x) = e2x[0, 2]
I =
8.IntegralenMoeilijk
xy−33

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 9 − x² en de x-as.

y = 9 − x²
A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 0,002479

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Neem de logaritme

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

Bereken

ln(1 + u)/u → 1 als u → 0, dus x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−2) = −6

Maak de logaritme ongedaan

L = e−6 = 0,002479

Antwoord

L = 0,002479
2.Limieten

Antwoord: L = 2,25

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Eerste toepassing

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Tweede toepassing

9·cos 3x/4

Vul x = 0 in

L = 9/4 = 2,25

Antwoord

L = 2,25
3.Afgeleiden

Antwoord: f′(1) = −150

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Kettingregel

f′(x) = 3·(−2x − 3)2·(−2)

Invullen

f′(1) = 3·(−5)2·(−2) = −150

Antwoord

f′(1) = −150
4.Afgeleiden

Antwoord: x = 2

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Afgeleide

f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)

f′(x) = 0 oplossen

x = 2 of x = 3

Welke is welke

f″(x) = 6x − 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 2

Antwoord

x = 2
5.Optimalisatie

Antwoord: h = 9,847 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 750/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1500/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm
A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

Antwoord

h = 9,847 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: P = 1450 €

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Winstfunctie

P(q) = 30q − (1000 + 16q + 0,02q²) = −0,02q2 + 14q − 1000

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −0,04 < 0, dus dit is een maximum.

14 − 0,04q = 0 → q = 350

Maximale winst

P = 14·350 − 0,02·350² − 1000 = €1450

Antwoord

P = €1450
7.Integralen

Antwoord: I = 26,8

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = e2x/2

Grenzen invullen

I = (e4 − 1)/2 = (54,6 − 1)/2 = 26,8

Antwoord

I = 26,8
8.Integralen

Antwoord: A = 36

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

9 − x² = 0 → x = ±3

Integreren

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Antwoord

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1