Calculus 1: oefenopgaven en tentamenvragen

Afgeleiden en integralen: de differentieerregels, toepassingen zoals raaklijnen en optimalisatie, en de belangrijkste integratietechnieken.

Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Samenvattingspakket (pdf)Formuleoverzichten, methodestappen en oefenopgaven met volledige oplossingen, klaar om af te drukken.

Onderwerpen in dit vak

  1. Limietendirect invullen en ontbinden in factoren · limieten naar oneindig · Regel van L'Hôpitalrekenopgaven
  2. Afgeleidenmachtsregel · ketting- en productregel · raaklijnen en extremenrekenopgaven
  3. Optimalisatiemaximale oppervlakte of inhoud · minimale kosten of minimaal materiaal · winst en omzetrekenopgaven
  4. Integralenveeltermen · exponenten, logaritmen en substitutie · oppervlakten tussen krommenrekenopgaven

Tentamentips voor Calculus 1

  • Schrijf de kettingregel volledig uit: de afgeleide van de buitenste functie maal de afgeleide van de binnenste.
  • Controleer een integraal door je antwoord te differentiëren.
  • Bij een bepaalde integraal verandert een substitutie ook de grenzen.

Uitgewerkte voorbeelden

LimietenMakkelijk
xyx = 1

Bereken de limiet L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Gevraagd: L

Hints tonen
  1. Invullen geeft 0/0. Ontbind de teller in factoren.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Probeer direct in te vullen

teller → 0 en noemer → 0, dus de vorm is 0/0.

Ontbinden en wegdelen

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Invullen

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwoord

L = 4

Dit is de afgeleide van xⁿ in x = a: n·aⁿ⁻¹.

AfgeleidenGemiddeld
xyx = 1

Gegeven f(x) = x3·e−x. Bereken f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gevraagd: f′(1)

Hints tonen
  1. Productregel met u = x3 en v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Productregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Invullen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwoord

f′(1) = 0,7358

Zo werkt het oefenen

  • “Dit vak oefenen” mengt opgaven uit al zijn onderwerpen, net als een echt tentamen.
  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Proeftentamens zijn getimed en hebben geen hints, en aan het eind krijg je je score en een volledige bespreking.

Calculators voor dit vak

Afgeleide berekenen met stappenIntegraalcalculator (bepaald en onbepaald)

Gerelateerde vakken

Oefenopgaven AP CalculusWiskunde voor ingenieursDifferentiaalvergelijkingenTechnische wiskunde 2Analyse 2Inleiding statistiekStatistiek 2: Inferentiële statistiekNumerieke methoden
Oefen dit vak gratisDit vak oefenenMaak een proeftentamenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.