Integralen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: integreren · primitieve · partiële integratie

Gratis oefenopgaven over Integralen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: veeltermen, exponenten, logaritmen en substitutie, oppervlakten tussen krommen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
xy−2−1

Bereken I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Volgende opgave →
Oefen Integralen gratisOefen nu IntegralenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkveeltermen
  2. Gemiddeldexponenten, logaritmen en substitutie
  3. Moeilijkoppervlakten tussen krommen

Zo los je opgaven over Integralen op

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Veelgemaakte fouten

  • Vergeten door de nieuwe exponent te delen.
  • De grenzen niet aanpassen na een substitutie.
  • + C vergeten bij een onbepaalde integraal.

Belangrijke formules

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Leer Integralen vanaf nul

Hiervoor: Afgeleiden

1Wat een integraal is

Een integraal telt een veranderende grootheid op. Het duidelijkste beeld is een oppervlakte onder een grafiek.

Een auto rijdt 5 s lang met 20 m/s. Hij legt 20 · 5 = 100 m af. In een snelheid–tijdgrafiek is dat de oppervlakte van de rechthoek onder de lijn.

xy520100

Als de snelheid verandert, is de vorm onder de grafiek gebogen, maar het idee is hetzelfde: de oppervlakte is de afstand.

We schrijven de oppervlakte onder f tussen x = a en x = b als:

∫ab f(x) dx

De getallen a en b zijn de grenzen van de integraal. De dx vertelt dat x de variabele is.

Zelftoets Een fietser rijdt 4 s lang met een constante 10 m/s. Wat is de oppervlakte onder de snelheid–tijdgrafiek?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Antwoord: 40 m. De oppervlakte is een rechthoek: hoogte 10 m/s maal breedte 4 s geeft 40 m. 10 door 4 delen geeft 2,5, wat geen oppervlakte is.

2Primitieven en de machtsregel

Integreren is differentiëren omgekeerd. Een primitieve functie F van f is een functie waarvan de afgeleide f is.

Omdat (x³)′ = 3x², is een primitieve van 3x² gelijk aan x³. Elke constante kan worden opgeteld, dus schrijven we ∫3x² dx = x³ + C.

De machtsregel voor integralen: verhoog de macht met één en deel dan door de nieuwe macht.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Een constante factor blijft voorop staan: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Een constante op zichzelf: ∫4 dx = 4x + C.
  • In een som integreer je elke term apart.

Leer deze ook: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x en ∫sin x dx = −cos x.

Een primitieve kun je altijd controleren: differentieer haar, en je moet de oorspronkelijke functie terugkrijgen.

Zelftoets Wat is ∫6x² dx?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Antwoord: 2x³ + C. Verhoog de macht naar 3 en deel door 3: 6x³/3 = 2x³. 12x is de afgeleide, niet de integraal, en 6x³ vergeet te delen door de nieuwe macht.

3Bepaalde integralen en oppervlakten

Een bepaalde integraal heeft grenzen en geeft een getal. Zoek een primitieve F en trek dan haar waarden bij de twee grenzen van elkaar af.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

De constante C valt weg bij het aftrekken, dus je kunt haar hier weglaten.

Voorbeeld: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, omdat ln 1 = 0.

Substitutie helpt als een functie in een andere zit. Stel voor e0,5x u = 0,5x. Het resultaat is de regel hierboven: deel door de 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

De oppervlakte tussen twee krommen is de integraal van de bovenste kromme min de onderste, tussen de punten waar ze elkaar ontmoeten.

Voor y = 2x en y = x² snijden de krommen elkaar bij x = 0 en x = 2. Op dat interval ligt 2x bovenaan.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Zelftoets De krommen y = x en y = x² snijden elkaar bij x = 0 en x = 1. Daartussen ligt y = x bovenaan. Wat is de ingesloten oppervlakte?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Antwoord: 1/6. ∫(x − x²) dx van 0 tot 1 is 1/2 − 1/3 = 1/6. Onderste min bovenste nemen geeft −1/6, en de twee integralen optellen geeft 5/6.

4De methode stap voor stap

  1. Schrijf de functie om tot een som van eenvoudige termen. Schrijf wortels en breuken als machten: √x = x1/2.
  2. Zoek van elke term een primitieve met de machtsregel of een standaardintegraal.
  3. Controleer het snel door in je hoofd te differentiëren.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) en F(a) apart.
  5. Trek af: F(b) − F(a). Let op de mintekens als a negatief is.

Los bij een oppervlakte tussen krommen eerst f(x) = g(x) op om de grenzen te vinden, en integreer dan bovenste min onderste.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Bereken I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Integreer term voor term

3x² geeft 3x³/3 = x³. 2x geeft 2x²/2 = x². De constante 1 geeft x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Controleer door te differentiëren

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Dit is de oorspronkelijke functie, dus F is juist.

3

Waarde bij de bovengrens

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Waarde bij de ondergrens

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Trek af

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

De integraal is de gearceerde oppervlakte onder de kromme tussen x = 0 en x = 2.

Antwoord

I = 14

6Veelgemaakte fouten

  • Vergeten door de nieuwe exponent te delen.
  • Differentiëren in plaats van integreren: de macht verlagen in plaats van verhogen.
  • ∫1/x dx schrijven als x⁰/0. De machtsregel werkt niet voor n = −1; gebruik ln|x|.
  • De mintekens in F(a) vergeten als a negatief is, bijvoorbeeld (−1)³ = −1.
  • + C vergeten bij een onbepaalde integraal, of de grenzen niet aanpassen na een substitutie.
Zelftoets Wat is ∫02 x³ dx?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Antwoord: 4. F(x) = x⁴/4, dus F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Vergeten te delen door de nieuwe macht 4 geeft 16.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een bepaalde integraal van een veelterm, soms met negatieve grenzen. Gebruik de machtsregel en F(b) − F(a).
  • Gemiddeld: exponentiële functies, logaritmen en substitutie, zoals ∫e0,5x dx of ∫3/x dx tussen twee grenzen.
  • Moeilijk: de oppervlakte ingesloten door twee krommen, zoals y = x² en y = 4x. Zoek waar ze elkaar snijden en integreer dan bovenste min onderste.

Een snelle controle: een oppervlakte ingesloten door twee krommen is altijd positief. Als je een negatief getal krijgt, heb je in de verkeerde volgorde afgetrokken.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xy3y = 0,5x

Het gebied onder y = 0,5x van x = 0 tot x = 3 wordt om de x-as gewenteld. Bepaal het volume V van het lichaam (een kegel).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Gevraagd: V

Hints tonen
  1. Een plak bij x is een schijf met straal y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Omwentelingslichamen: als je het gebied onder y = f(x) van x = a tot x = b om de x-as wentelt, ontstaat een lichaam waarvan de doorsnede bij x een schijf met straal f(x) is. Het optellen van de schijven geeft V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Ligt het gebied tussen een buitenste kromme R(x) en een binnenste kromme r(x), dan is elke plak een ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Kwadrateer de stralen voordat je ze van elkaar aftrekt.

Schijfmethode

V = π∫₀3 0,25x² dx

Integreren

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Antwoord

V = 7,069

Controle: een kegel met straal 1,5 en hoogte 3 heeft (1/3)πr²h = 7,069.

Voorbeeld 2Gemiddeld
xy2y = x·cos x

Bereken I = ∫₀2 x·cos x dx (x in radialen).

∫₀2 x·cos x dx

Gevraagd: I

Hints tonen
  1. Neem u = x en dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitieve

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limieten

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Antwoord

I = 0,4024
Voorbeeld 3Moeilijk
xyy = 2x2​y = x

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = 2x2 en y = x.

y = 2x2y = x

Gevraagd: A

Hints tonen
  1. Zoek eerst waar de krommen elkaar snijden: stel ze gelijk.
  2. Ze snijden elkaar in x = 0 en x = 0,5. Daartussen ligt de lijn boven de parabool.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Bovenste min onderste integreren

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Antwoord

A = 0,04167

Vragen en antwoorden

Integralen: wat is het?

Een integraal telt een veranderende grootheid op. Het duidelijkste beeld is een oppervlakte onder een grafiek.

Een auto rijdt 5 s lang met 20 m/s. Hij legt 20 · 5 = 100 m af. In een snelheid–tijdgrafiek is dat de oppervlakte van de rechthoek onder de lijn.

Integralen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).
Integralen: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Vergeten door de nieuwe exponent te delen.
  • De grenzen niet aanpassen na een substitutie.
  • + C vergeten bij een onbepaalde integraal.
Integralen: wat oefen je?
  • Makkelijk: veeltermen
  • Gemiddeld: exponenten, logaritmen en substitutie
  • Moeilijk: oppervlakten tussen krommen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Afgeleiden

Daarna verder met

Convolutie en LTI-systemenLaplacetransformatiesMultivariabele analyseNumerieke methodenDifferentiaalvergelijkingen

Calculators

Integraalcalculator (bepaald en onbepaald)

Vakken met dit onderwerp

Calculus 1Wiskunde voor ingenieursDifferentiaalvergelijkingenTechnische wiskunde 2Analyse 2Oefenopgaven AP Calculus

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Integralen met antwoorden
Oefen Integralen gratisOefen nu IntegralenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.