Complexe getallen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: complexe vlak · stelling van De Moivre
Gratis oefenopgaven over Complexe getallen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: rekenen in rechthoekige vorm, poolvorm en exponentiële vorm, De Moivre, wortels en vergelijkingen.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Bepaal voor z₁ = 1 + j4 en z₂ = 5 + j6 het imaginaire deel van w = 2z₁ + 5z̄₂.
De vergelijking x² = −1 heeft geen reële oplossing. Ingenieurs voegen een nieuw getal j toe met j² = −1. Wiskundigen schrijven i; in de techniek wordt j gebruikt omdat i al stroom betekent.
Een complex getal heeft de vorm z = a + jb. Het getal a is het reële deel en b is het imaginaire deel: Re(z) = a en Im(z) = b.
Je kunt z tekenen als het punt (a, b) in het Argand-diagram: het reële deel langs de horizontale as, het imaginaire deel langs de verticale.
De afstand tot de oorsprong is de modulus |z| = √(a² + b²). De hoek met de positieve reële as is het argument θ. Het spiegelbeeld in de reële as, z̄ = a − jb, is de geconjugeerde.
Zelftoets Wat is de modulus van z = 3 − j4?
25
5
7
−1
Antwoord: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. 3 en 4 optellen geeft 7, en de wortel vergeten geeft 25.
2Optellen, vermenigvuldigen en delen
Optellen en aftrekken deel voor deel: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Vermenigvuldig de haakjes uit en vervang j² door −1:
Antwoord: 2. Het is een getal maal zijn geconjugeerde: 1² + 1² = 2. 1 − j² schrijven als 1 − 1 = 0 vergeet dat j² = −1, dus −j² = +1.
3Poolvorm en exponentiële vorm
Een punt kan ook worden gegeven door zijn afstand en hoek: z = r∠θ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar rechthoekige vorm met a = r cos θ en b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
De laatste vorm gebruikt de formule van Euler ejθ = cos θ + j sin θ. In de exponentiële vorm moet θ in radialen staan.
Let op het kwadrant. Een rekenmachine geeft atan(b/a) tussen −90° en 90°. Als a < 0 ligt het punt links, dus tel 180° op of trek 180° af.
Voorbeeld: z = −2 + j2. Dan is r = √8 = 2,828. De referentiehoek is atan(2/2) = 45° en het punt ligt in het tweede kwadrant, dus θ = 180° − 45° = 135°.
Zelftoets Wat is het argument van z = −1 − j, tussen −180° en 180°?
135°
45°
−135°
−45°
Antwoord: −135°. Het punt ligt in het derde kwadrant. De referentiehoek is 45°, dus θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° wijst naar het tegenovergestelde kwadrant.
4Vermenigvuldigen in poolvorm, machten en wortels
In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op. Bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Herhalen levert de stelling van De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels. Ze hebben allemaal de modulus R1/n en de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1.
Voor z³ = 8 = 8∠0°: de modulus is 2 en de argumenten zijn 0°, 120° en 240° (dat is −120°). De wortels vormen een regelmatige driehoek op de cirkel.
Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels −p/2 ± j√(q − p²/4). Reële polynomen hebben hun complexe wortels altijd in geconjugeerde paren.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Machten van getallen zoals 1 + j gaan veel sneller in poolvorm dan door uit te vermenigvuldigen.
Uitgewerkt voorbeeld
Bereken (1 + j)6 met de stelling van De Moivre.
1
Schrijf 1 + j in poolvorm
r = √(1² + 1²) = √2. Het punt ligt in het eerste kwadrant, dus θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Pas De Moivre toe
Verhef de modulus tot de macht 6 en vermenigvuldig de hoek met 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Breng de hoek in het gebied
270° is dezelfde richting als −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Terug naar rechthoekige vorm
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Antwoord
(1 + j)6 = −j8: reëel deel 0, imaginair deel −8.
6Veelgemaakte fouten en tentamenvragen
Vergeten dat j² = −1 bij het uitvermenigvuldigen, zodat een term het verkeerde teken krijgt.
Deel voor deel delen: (a + jb)/(c + jd) is niet a/c + jb/d. Gebruik de geconjugeerde.
atan(b/a) nemen als argument als a < 0. Schets eerst het punt.
Graden gebruiken in ejθ, of de rekenmachine op radialen laten staan voor r∠θ in graden.
Bij De Moivre: vergeten de modulus tot de macht te verheffen, of maar één wortel van zⁿ = w geven.
Makkelijk: vragen naar een deel van een product, quotiënt of som. Gemiddeld: omrekenen tussen rechthoekige, pool- en exponentiële vorm. Moeilijk: De Moivre, de n-de machtswortels en veeltermvergelijkingen.
Zelftoets z₁ = 2∠30° en z₂ = 4∠50°. Wat is z₁·z₂?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Antwoord: 8∠80°. Vermenigvuldig de moduli (2·4 = 8) en tel de argumenten op (30° + 50° = 80°). De moduli optellen geeft 6, en de hoeken vermenigvuldigen slaat nergens op.
Bepaal voor z₁ = −7 + j en z₂ = 4 + j2 het reële deel van het product z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Gevraagd: Re(z₁z₂)
Hints tonen
Werk de haakjes uit zoals (a + b)(c + d), wat vier termen geeft.
Vervang j² door −1 zodat één van de vier termen reëel wordt.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Complexe getallen: z = a + jb heeft reëel deel a en imaginair deel b, met j² = −1 (wiskundigen schrijven i). Tel op en trek af deel voor deel; werk haakjes uit en vervang j² door −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer, z̄ = a − jb, omdat z·z̄ = a² + b² reëel is. In het Argand-diagram is z het punt (a, b): zijn afstand tot de oorsprong is de modulus |z| = √(a² + b²), en de hoek met de positieve reële as is het argument θ.
Schrijf z = 4∠160° in rechthoekige vorm a + jb en geef het imaginaire deel b.
r = 4θ = 160°
Gevraagd: b
Hints tonen
a = r·cos θ en b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Vermenigvuldig met r = 4.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Componenten
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Rechthoekige vorm
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Antwoord
b = 1,368
Voorbeeld 3Moeilijk
De wortels van zⁿ = w met n = 4 en w = 16∠−60° zijn zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Bepaal het reële deel van z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Gevraagd: Re(z₂)
Hints tonen
Elke wortel heeft modulus R1/n = 161/4 = 2.
Het argument van z₂ is (φ + 360°·k)/n met φ = −60°, k = 2 en n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Modulus van de wortels
161/4 = 2
Argument van de wortel
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Rechthoekige vorm
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Antwoord
Re(z₂) = −1,932
De 4 wortels liggen op de cirkel met straal 2, 90° uit elkaar.
Vragen en antwoorden
Complexe getallen: wat is het?
De vergelijking x² = −1 heeft geen reële oplossing. Ingenieurs voegen een nieuw getal j toe met j² = −1. Wiskundigen schrijven i; in de techniek wordt j gebruikt omdat i al stroom betekent.
Een complex getal heeft de vorm z = a + jb. Het getal a is het reële deel en b is het imaginaire deel: Re(z) = a en Im(z) = b.
Complexe getallen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Complexe getallen: wat zijn veelgemaakte fouten?
j² als +1 behandelen bij het uitvermenigvuldigen.
Het reële en het imaginaire deel apart delen.
atan(b/a) nemen als argument voor een punt in het linker halfvlak.
Graden en radialen door elkaar halen, vooral in ejθ.
Maar één wortel van zⁿ = w geven, of vergeten de n-de machtswortel van de modulus te nemen.
Complexe getallen: wat oefen je?
Makkelijk: rekenen in rechthoekige vorm
Gemiddeld: poolvorm en exponentiële vorm
Moeilijk: De Moivre, wortels en vergelijkingen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.