Chikwadraattoetsen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen
Ook wel: chikwadraattoets · χ²-toets · chi-kwadraat
Gratis oefenopgaven over Chikwadraattoetsen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: aanpassingstoets, toets op onafhankelijkheid, beslissen met de kritieke waarde.
Gratis oefenopgaveMakkelijk
Een snoepfabrikant claimt de kleurverhoudingen in de tabel. Een aselecte steekproef van 200 snoepjes geeft de waargenomen aantallen. Bereken de toetsingsgrootheid χ² van de chikwadraat-aanpassingstoets voor H₀: de geclaimde verhoudingen kloppen.
Een chikwadraattoets (χ²) vergelijkt aantallen. Ze vraagt of de aantallen die je waarneemt meer dan door toeval afwijken van de aantallen die je verwacht.
Voorbeeld: je gooit 60 keer met een dobbelsteen. Als die eerlijk is, moet elk ooggetal ongeveer 60 · 1/6 = 10 keer voorkomen. Dat zijn de verwachte aantallen E.
Je neemt 8, 12, 9, 11, 6 en 14 waar. Dat zijn de waargenomen aantallen O. Ze zijn nooit precies 10, ook niet bij een eerlijke dobbelsteen. De vraag is of ze te ver afwijken.
Zoals bij elke hypothesetoets zegt H₀ dat er niets bijzonders aan de hand is: de dobbelsteen is eerlijk, of twee variabelen zijn onafhankelijk.
Zelftoets Een dobbelsteen wordt 120 keer gegooid om te toetsen of hij eerlijk is. Hoe groot is het verwachte aantal voor elk ooggetal?
1/6
120
20
6
Antwoord: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. De kans 1/6 is geen aantal; je moet haar vermenigvuldigen met het aantal worpen.
2De toetsingsgrootheid
Neem voor elke categorie het verschil O − E, kwadrateer het en deel door E. Tel daarna alles over alle categorieën op:
χ² = Σ (O − E)² / E
Kwadrateren maakt elke term positief. Delen door E zorgt dat een verschil van 4 zwaarder telt als er maar 10 werden verwacht dan als er 1000 werden verwacht.
De vrijheidsgraden voor deze aanpassingstoets zijn df = k − 1, waarbij k het aantal categorieën is. Zes oogaantallen geven df = 5.
Een grote χ² betekent dat de gegevens slecht bij H₀ passen. Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde uit de tabel. Bij α = 0,05:
df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592
Voor de dobbelsteen is 4,2 lager dan 11,070, dus er is geen bewijs dat hij oneerlijk is.
Zelftoets Eén categorie heeft O = 14 en E = 10. Wat voegt die toe aan χ²?
0,4
1,6
16
4
Antwoord: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Als je vergeet te kwadrateren, krijg je 0,4, en als je vergeet door E te delen, krijg je 16.
3De onafhankelijkheidstoets
Een kruistabel telt gevallen naar twee variabelen tegelijk, zoals behandeling (rijen) en resultaat (kolommen). H₀: de twee variabelen zijn onafhankelijk.
Als ze onafhankelijk zijn, volgt het verwachte aantal in elke cel uit de totalen:
E = rijtotaal × kolomtotaal / eindtotaal
Daarna wordt χ² met dezelfde formule als eerder berekend, over elke cel van de tabel, zonder de totalen.
df = (r − 1)(c − 1)
Hier is r het aantal rijen en c het aantal kolommen, de totalen niet meegerekend. Een 2×2-tabel heeft df = 1.
Zelftoets In een tabel met een eindtotaal van 120 heeft een cel een rijtotaal van 40 en een kolomtotaal van 30. Wat is het verwachte aantal?
10
1200
3
70
Antwoord: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 vergeet door het eindtotaal te delen.
4De methode stap voor stap
Formuleer H₀: de beweerde verhoudingen kloppen (aanpassingstoets), of de variabelen zijn onafhankelijk.
Bereken elk verwacht aantal: E = n · p, of rijtotaal × kolomtotaal / eindtotaal.
Bereken voor elke cel (O − E)²/E. Tel ze allemaal op voor χ².
Zoek df: k − 1 voor de aanpassingstoets, (r − 1)(c − 1) voor onafhankelijkheid.
Zoek de kritieke waarde op voor die df bij α = 0,05.
Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde. Formuleer de conclusie in woorden.
Controle: de verwachte aantallen in elke rij en kolom tellen op tot dezelfde totalen als de waargenomen aantallen.
5Een uitgewerkt voorbeeld
Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.
Uitgewerkt voorbeeld
In een onderzoek krijgen 120 patiënten een nieuw geneesmiddel (rij A) en 100 een placebo (rij B). Kolom 1 telt de patiënten die verbeterden, kolom 2 degenen die niet verbeterden. Toets bij α = 0,05 of het resultaat onafhankelijk is van de behandeling.
1
Lees de tabel
Rijtotalen: 120 en 100. Kolomtotalen: 110 en 110. Eindtotaal: 220.
1,173 is kleiner dan 3,841, dus χ² ligt niet in het verwerpingsgebied. Verwerp H₀ niet.
Antwoord
χ² ≈ 1,17 < 3,841: geen significant bewijs dat de verbetering afhangt van de behandeling.
6Veelgemaakte fouten
Percentages of verhoudingen gebruiken in plaats van aantallen. χ² werkt alleen met aantallen.
Delen door O in plaats van door E.
De totalenrij of -kolom meenemen in de som.
De verkeerde df gebruiken: voor een tabel is het (r − 1)(c − 1), niet het aantal cellen min één.
H₀ verwerpen als χ² kleiner is dan de kritieke waarde. Alleen een grote χ² is bewijs tegen H₀.
Zelftoets Een onafhankelijkheidstoets gebruikt een tabel met 3 rijen en 4 kolommen (totalen niet meegerekend). Hoeveel vrijheidsgraden heeft die?
11
12
5
6
Antwoord: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 is het aantal cellen min één, wat de regel voor de aanpassingstoets is, per ongeluk op een tabel toegepast.
Een dobbelsteen wordt 300 keer gegooid om te toetsen of hij zuiver is. De aantallen per zijde staan hieronder. Bereken de toetsingsgrootheid χ² van de chikwadraat-aanpassingstoets voor H₀: elke zijde heeft kans 1/6.
n = 300k = 6
Gevraagd: χ²
Hints tonen
Verwachte aantallen onder H₀: E = n·p voor elke categorie.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Tel (O − E)²/E op over alle categorieën.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
df = 5. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 11,070, dus H₀ wordt niet verworpen.
Voorbeeld 2Gemiddeld
De kruistabel toont waargenomen aantallen. Bereken de chikwadraatgrootheid χ² voor de toets op onafhankelijkheid tussen de rij- en kolomvariabele. Gebruik geen continuïteitscorrectie.
N = 1802 × 2
Gevraagd: χ²
Hints tonen
Verwacht aantal in elke cel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal.
E = 32, 48 | 40, 60.
Tel (O − E)²/E op over alle 4 cellen.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
df = 1. Bij α = 0,05 is de kritieke waarde 3,841, dus H₀ (onafhankelijkheid) wordt niet verworpen.
Voorbeeld 3Moeilijk
Er wordt een chikwadraattoets op onafhankelijkheid uitgevoerd op een kruistabel met 2 rijen en 6 kolommen (de totalen niet meegeteld). Hoeveel vrijheidsgraden df heeft de toets?
2 × 6
Gevraagd: df
Hints tonen
Vrijheidsgraden tellen hoeveel cellen vrij kunnen variëren zodra de totalen (en eventuele geschatte parameters) vastliggen.
Aanpassingstoets: k − 1, min één voor elke geschatte parameter.
Onafhankelijkheid: (r − 1)(c − 1).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
Vrijheidsgraden
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Antwoord
df = 5
Vragen en antwoorden
Chikwadraattoetsen: wat is het?
Een chikwadraattoets (χ²) vergelijkt aantallen. Ze vraagt of de aantallen die je waarneemt meer dan door toeval afwijken van de aantallen die je verwacht.
Voorbeeld: je gooit 60 keer met een dobbelsteen. Als die eerlijk is, moet elk ooggetal ongeveer 60 · 1/6 = 10 keer voorkomen. Dat zijn de verwachte aantallen E.
Chikwadraattoetsen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
Chikwadraattoetsen: vergelijk waargenomen aantallen O met de onder H₀ verwachte aantallen E met χ² = Σ(O − E)²/E. Aanpassingstoets: E = n·p voor elke categorie, df = k − 1 (en nog één minder voor elke parameter die uit de data is geschat). Onafhankelijkheid in een r × c-tabel: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal, df = (r − 1)(c − 1). Verwerp H₀ als χ² groter is dan de kritieke waarde bij de gekozen α.
Chikwadraattoetsen: wat zijn veelgemaakte fouten?
Deel elk gekwadrateerd verschil door het verwachte aantal E, niet door het waargenomen aantal O.
Deel elk gekwadrateerd verschil door zijn eigen verwachte aantal E voordat je optelt, niet het totaal door n.
Verwachte aantallen volgen uit de randtotalen, niet uit het gelijk verdelen van het totaal: E = rijtotaal × kolomtotaal / totaal.
Chikwadraattoetsen: wat oefen je?
Makkelijk: aanpassingstoets
Gemiddeld: toets op onafhankelijkheid
Moeilijk: beslissen met de kritieke waarde
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Zo werkt het oefenen
Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.