Betrouwbaarheidsintervallen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: betrouwbaarheidsinterval · intervalschatting

Gratis oefenopgaven over Betrouwbaarheidsintervallen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: z-interval, t-interval, steekproefomvang.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
LU = ?p̂ = 55/100E90%

In een peiling onder 100 willekeurig gekozen kiezers steunen 55 een voorstel. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie voorstanders.

n = 100x = 5590%
Volgende opgave →
Oefen Betrouwbaarheidsintervallen gratisOefen nu BetrouwbaarheidsintervallenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkz-interval
  2. Gemiddeldt-interval
  3. Moeilijksteekproefomvang

Zo los je opgaven over Betrouwbaarheidsintervallen op

  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.

Veelgemaakte fouten

  • Vergeten door √n te delen.
  • z gebruiken terwijl de steekproef klein is en σ onbekend.
  • De steekproefomvang naar beneden afronden in plaats van naar boven.

Belangrijke formules

σ bekend
x̄ ± z·σ/√n
σ onbekend
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritieke z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Steekproefomvang
n = (z·σ/E)², rounded up

Leer Betrouwbaarheidsintervallen vanaf nul

Hiervoor: Normale verdeling

1Wat een betrouwbaarheidsinterval is

Je wilt het gemiddelde μ van een hele populatie, bijvoorbeeld de gemiddelde levensduur van alle batterijen die een fabriek maakt. Je kunt ze niet allemaal testen, dus test je een steekproef van n batterijen.

Het steekproefgemiddelde x̄ is je beste schatting voor μ, maar een andere steekproef zou een iets ander x̄ geven. Eén enkel getal verbergt die onzekerheid.

Een betrouwbaarheidsinterval geeft in plaats daarvan een bereik: x̄ min een marge, tot x̄ plus een marge.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Een betrouwbaarheidsinterval van 95% wordt gemaakt met een methode die het ware μ in 95% van alle steekproeven vangt. Een hoger betrouwbaarheidsniveau geeft een breder interval.

Zelftoets Je berekent uit dezelfde steekproef een interval van 90% en een van 99%. Welk is breder?
  1. Het hangt af van het steekproefgemiddelde
  2. Het interval van 90%
  3. Het interval van 99%
  4. Ze zijn even breed

Antwoord: Het interval van 99%. Om zekerder te zijn dat het interval μ bevat, moet het breder zijn. De kritieke waarde 2,576 bij 99% is groter dan de waarde 1,645 bij 90%.

2Het z-interval

Als de standaardafwijking σ van de populatie bekend is, is het interval:

x̄ ± z · σ / √n

De term σ/√n is de standaardfout: hoeveel x̄ van steekproef tot steekproef varieert. Een grotere steekproef geeft een kleinere standaardfout.

De kritieke waarde z hangt af van het betrouwbaarheidsniveau. Leer deze drie:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

De foutmarge is E = z · σ/√n. Het interval loopt van x̄ − E (de ondergrens) tot x̄ + E (de bovengrens).

Zelftoets Een steekproef van 64 heeft gemiddelde 55. De σ van de populatie is 12. Wat is de bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval van 95%?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Antwoord: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, dus de bovengrens is 57,94. Als je √n vergeet, krijg je 78,52, en 57,47 gebruikt de waarde 1,645 van 90%.

3Het t-interval en de steekproefgrootte

Meestal is σ niet bekend. Dan gebruik je de steekproefstandaardafwijking s, en komt de kritieke waarde uit de t-verdeling:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Het aantal vrijheidsgraden df is n − 1. De t-waarde is groter dan z, dus het interval is breder: het houdt rekening met de extra onzekerheid in s. Voor grote n komt t dicht bij z.

Bij 95%: t = 2,262 voor df = 9, t = 2,131 voor df = 15 en t = 2,045 voor df = 29.

Soms moet je de steekproefgrootte plannen: hoe groot moet n zijn voor een foutmarge van hooguit E? Los E = zσ/√n op voor n:

n = (z · σ / E)²

Rond altijd naar boven af op het volgende gehele getal. Naar beneden afronden zou een marge geven die iets groter is dan E.

Zelftoets σ = 13. Hoe groot moet de steekproef zijn voor een interval van 95% met een foutmarge van hooguit 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Antwoord: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, naar boven afgerond 163. Naar beneden afronden op 162 geeft een marge net boven 2, en 13 vergeet te kwadrateren.

4De methode stap voor stap

  1. Schrijf n, x̄, en σ of s op.
  2. Kies z (σ bekend) of t met df = n − 1 (alleen s bekend).
  3. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  4. Bereken de standaardfout: σ/√n of s/√n.
  5. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardfout.
  6. Interval: van x̄ − E tot x̄ + E. Geef de grens die gevraagd wordt.

Voor een vraag over de steekproefgrootte: n = (zσ/E)², naar boven afgerond.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 40 en standaardafwijking s = 6. De populatie is ongeveer normaal verdeeld. Zoek het betrouwbaarheidsinterval van 95% voor het gemiddelde.

1

z of t?

Alleen de steekproefstandaardafwijking s is bekend, niet σ. Gebruik dus t met df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Standaardfout

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Foutmarge

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Het interval

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Controleer het antwoord

Met z = 1,96 zou de marge 2,94 zijn. Het t-interval is iets breder, zoals het hoort als σ onbekend is.

Antwoord

Het betrouwbaarheidsinterval van 95% is [36,80, 43,20].

6Veelgemaakte fouten

  • Vergeten door √n te delen.
  • z gebruiken terwijl de steekproef klein is en σ onbekend.
  • df = n gebruiken in plaats van df = n − 1 voor t.
  • De waarde 1,645 van 90% gebruiken voor een interval van 95%.
  • De steekproefomvang naar beneden afronden in plaats van naar boven.
Zelftoets Een steekproef van n = 10 heeft standaardafwijking s = 5. σ is onbekend. Welke kritieke waarde gebruik je voor een interval van 95%?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Antwoord: t = 2,262 (df = 9). σ is onbekend, dus gebruik t met df = n − 1 = 9. z gebruiken negeert de onzekerheid in s, en df = 10 vergeet de min één.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: een z-interval. σ is bekend; zoek de onder- of bovengrens.
  • Gemiddeld: een t-interval. Alleen s is gegeven; de t-waarde met n − 1 vrijheidsgraden is gegeven of komt uit een tabel.
  • Moeilijk: steekproefgrootte. Zoek de kleinste n voor een gegeven foutmarge en rond naar boven af.

Een snelle controle: het steekproefgemiddelde ligt altijd precies in het midden van het interval.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Een steekproef van 200 metingen heeft gemiddelde 174,5. De standaardafwijking van de populatie is bekend en is 30. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Gevraagd: bovengrens

Hints tonen
  1. σ is bekend, dus gebruik de kritieke z-waarde.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.

Foutmarge

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Interval

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Antwoord

bovengrens = 178
Voorbeeld 2Gemiddeld
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 50 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,8. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 100 waarnemingen gebruikt?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Gevraagd: E₂

Hints tonen
  1. E = z·σ/√n, en σ blijft gelijk.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhouding van de marges

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Nieuwe marge

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Antwoord

E₂ = 5,515
Voorbeeld 3Moeilijk
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 1,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Gevraagd: σ (µm)

Hints tonen
  1. Voor een normaal verdeelde populatie volgt (n − 1)s²/σ² een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden.
  2. Interval voor σ²: van (n − 1)s²/34,17 tot (n − 1)s²/9,591. Neem de wortels voor σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.

Kwadratensom

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Grenzen voor σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Grens voor σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Antwoord

σ = 1,733 µm

95%-interval voor σ: [0,9181, 1,733] µm.

Vragen en antwoorden

Betrouwbaarheidsintervallen: wat is het?

Je wilt het gemiddelde μ van een hele populatie, bijvoorbeeld de gemiddelde levensduur van alle batterijen die een fabriek maakt. Je kunt ze niet allemaal testen, dus test je een steekproef van n batterijen.

Het steekproefgemiddelde x̄ is je beste schatting voor μ, maar een andere steekproef zou een iets ander x̄ geven. Eén enkel getal verbergt die onzekerheid.

Betrouwbaarheidsintervallen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Kies tussen z (σ van de populatie bekend) en t (alleen de steekproef-s, met n − 1 vrijheidsgraden).
  2. Zoek de kritieke waarde bij het betrouwbaarheidsniveau.
  3. Foutmarge: E = kritieke waarde × standaardafwijking/√n.
  4. Interval: x̄ ± E.
Betrouwbaarheidsintervallen: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Vergeten door √n te delen.
  • z gebruiken terwijl de steekproef klein is en σ onbekend.
  • De steekproefomvang naar beneden afronden in plaats van naar boven.
Betrouwbaarheidsintervallen: wat oefen je?
  • Makkelijk: z-interval
  • Gemiddeld: t-interval
  • Moeilijk: steekproefomvang

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Normale verdeling

Daarna verder met

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen

Calculators

Calculator voor betrouwbaarheidsintervallenCalculator voor steekproefomvang

Vakken met dit onderwerp

Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieInleiding statistiekStatistiek 2: Inferentiële statistiekEvidence-based practiceOefenopgaven AP StatisticsOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Betrouwbaarheidsintervallen met antwoorden
Oefen Betrouwbaarheidsintervallen gratisOefen nu BetrouwbaarheidsintervallenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.