Vectoren: inwendig en uitwendig product: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: inproduct · uitproduct · kruisproduct

Gratis oefenopgaven over Vectoren: inwendig en uitwendig product met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: grootte en componenten, inwendig product, uitwendig product en momenten.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
xyza

Bepaal de grootte |a| van de vector a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Volgende opgave →
Oefen Vectoren: inwendig en uitwendig product gratisOefen nu Vectoren: inwendig en uitwendig productElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkgrootte en componenten
  2. Gemiddeldinwendig product
  3. Moeilijkuitwendig product en momenten

Zo los je opgaven over Vectoren: inwendig en uitwendig product op

  1. Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
  2. Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
  3. Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.

Veelgemaakte fouten

  • Groottes optellen in plaats van componenten.
  • Het teken van de middelste (y-)component van een uitwendig product fout hebben.
  • De positie van het punt gebruiken in plaats van r = A − O bij een moment.
  • De arctan nemen zonder het kwadrant te controleren.

Belangrijke formules

Grootte
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Eenheidsvector
û = a/|a|
Componenten uit een hoek
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Inwendig product
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Scalaire projectie van a op b
a·b/|b|
Arbeid
W = F·d
Uitwendig product
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Oppervlakken
parallellogram |a × b|, driehoek ½|a × b|
Moment om O
MO = r × F, r = A − O
Volume van een parallellepipedum
V = |a·(b × c)|

Leer Vectoren: inwendig en uitwendig product vanaf nul

1Wat een vector is

Sommige grootheden hebben alleen een getal nodig: een massa van 5 kg of een temperatuur van 20 °C. Dit zijn scalairen.

Andere grootheden hebben ook een richting nodig. Een kracht van 40 N die omhoog duwt is heel anders dan 40 N die zijwaarts duwt. Dit zijn vectoren.

Je beschrijft een vector met zijn componenten: hoe ver hij reikt langs x, langs y en langs z. De vector a = (4, 3, 0) reikt 4 eenheden langs x, 3 langs y en 0 langs z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Krachten, verplaatsingen en snelheden zijn allemaal vectoren. Ingenieurs gebruiken vectorrekening om krachten op te tellen, hoeken te vinden en momenten in drie dimensies te berekenen.

Vectoren tel je component voor component op: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Zo vind je de resultante van meerdere krachten.

Zelftoets Wat is de lengte van de vector a = (3, 4, 0)?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Antwoord: 5. De lengte is √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. De componenten optellen (7) is fout omdat ze loodrecht op elkaar staan, en 25 vergeet de wortel.

2Lengte, richting en componenten

De grootte |a| is de lengte van de vector. Het is Pythagoras in drie dimensies:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Een eenheidsvector heeft lengte 1 en wijst in dezelfde richting. Je krijgt hem door elke component door de grootte te delen:

û = a / |a|

Voor a = (0, 3, 4) is de grootte 5, dus û = (0, 0,6, 0,8). Controle: 0,6² + 0,8² = 1.

Een kracht in het xy-vlak wordt vaak gegeven als een grootte F en een hoek θ, tegen de klok in gemeten vanaf de positieve x-as. Haar componenten zijn:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

De cosinus en sinus geven de tekens vanzelf. Een kracht onder 120° heeft een negatieve x-component omdat cos 120° = −0,5.

Als je van componenten terug naar een hoek gaat, geeft arctan(Ry/Rx) alleen antwoorden tussen −90° en 90°. Als Rx negatief is, tel je 180° op. Als alleen Ry negatief is, tel je 360° op.

Zelftoets Wat is de y-component van de eenheidsvector in de richting van a = (0, 3, 4)?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Antwoord: 0,6. Deel door de grootte 5: 3/5 = 0,6. 3 vergeet te delen, 0,12 deelt door |a|² = 25, en 0,43 deelt door de som van de componenten (7).

3Het inproduct en het uitproduct

Er zijn twee manieren om twee vectoren te vermenigvuldigen. Het inproduct (dot product) geeft een getal. Het uitproduct (cross product) geeft een nieuwe vector.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Hier is θ de hoek tussen de twee vectoren. Het inproduct meet hoeveel de vectoren dezelfde kant op wijzen. Het is nul als ze loodrecht op elkaar staan.

dFθ|F|·cos θ
  • De hoek: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • De scalaire projectie van a op b (het deel van a langs b): a·b / |b|.
  • De arbeid verricht door een constante kracht over een verplaatsing: W = F·d.
  • Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als a·b = 0.

Het uitproduct a × b is een vector loodrecht op zowel a als b. Zijn lengte is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram dat de twee vectoren opspannen.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Voor a = (1, 2, 0) en b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Het parallellogram heeft oppervlakte 5 en de driehoek de helft daarvan, 2,5.

De volgorde doet ertoe: b × a = −(a × b). Het moment van een kracht F die in punt A werkt om punt O is M = r × F, met r = A − O.

Zelftoets Wat is voor a = (2, 1, 0) en b = (1, 4, 0) de z-component van a × b?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Antwoord: 7. z-component = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 is b × a (de volgorde verwisseld), 6 is het inproduct, en 9 telt de twee producten op in plaats van af te trekken.

4De methode stap voor stap

  1. Schrijf elke vector in componenten. Gebruik bij een kracht gegeven door grootte en hoek F·cos θ en F·sin θ.
  2. Als de vraag punten geeft, bouw dan de vectoren daaruit: de vector van A naar B is B − A.
  3. Bepaal welk gereedschap je nodig hebt. Lengtes en richtingen: grootte en eenheidsvector. Hoeken, projecties en arbeid: inproduct. Oppervlakten, loodrechte vectoren en momenten: uitproduct.
  4. Schrijf eerst de formule op en vul dan de getallen component voor component in. Zet de tekens tussen haakjes.
  5. Controleer het resultaat: een eenheidsvector heeft lengte 1, a × b staat loodrecht op a (dus a·(a × b) = 0), en een hoek tussen vectoren ligt tussen 0° en 180°.

Neem voor een eenheidsvector loodrecht op twee vectoren n = a × b en deel die door zijn lengte. Als de vraag een positieve z-component wil en de jouwe negatief is, draai dan alle tekens om.

Het volume van de doos (parallellepipedum) met ribben a, b en c is |a·(b × c)|: eerst het uitproduct, dan het inproduct.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een constante kracht F = (6, 2, −3) N duwt een voorwerp in een rechte lijn van punt A(1, 0, 2) naar punt B(3, 4, 2). Coördinaten zijn in meter. Bepaal de arbeid W die de kracht verricht en de hoek θ tussen de kracht en de verplaatsing.

1

Bouw de verplaatsing

De verplaatsing is de vector van A naar B: trek het begin van het eind af.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Arbeid met het inproduct

Arbeid is het inproduct van kracht en verplaatsing. Vermenigvuldig de overeenkomstige componenten en tel op.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

De twee groottes

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

De hoek

dFθ|F|·cos θ

Gebruik de andere vorm van het inproduct, F·d = |F|·|d|·cos θ, en los op voor cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Controleer het antwoord

De arbeid is positief, dus de hoek moet kleiner zijn dan 90°. Dat klopt.

Het deel van de kracht langs de beweging is |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Maal de afstand 4,472 m geeft dit opnieuw 20 J.

Antwoord

W = 20 J en θ ≈ 50,3°.

6Veelgemaakte fouten

  • Groottes optellen in plaats van componenten. Twee krachten van 3 N en 4 N die loodrecht op elkaar staan, geven 5 N, niet 7 N.
  • De coördinaten van het punt gebruiken in plaats van r = A − O bij een moment.
  • Het teken van de middelste (y-)component van een uitproduct verkeerd nemen. Het is azbx − axbz, niet andersom.
  • De volgorde in een uitproduct verwisselen. b × a wijst de tegenovergestelde kant op als a × b.
  • arctan nemen voor een richting zonder te controleren in welk kwadrant de vector ligt.
  • De ½ vergeten voor de oppervlakte van een driehoek: die is de helft van |AB × AC|.
Zelftoets Een kracht F = (0, 10, 0) N werkt in punt A(3, 0, 0) m. Wat is de grootte van haar moment om O(1, 0, 0) m?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Antwoord: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, dus M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Het punt A zelf als r gebruiken geeft 30 N·m, A + O geeft 40 N·m, en O alleen geeft 10 N·m.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: grootte en componenten. De lengte van een vector, een component van een eenheidsvector, een component van een kracht gegeven door grootte en hoek, of de grootte of richting van de resultante van twee krachten.
  • Gemiddeld: het inproduct. Een inproduct, de hoek tussen twee vectoren, een scalaire projectie, de arbeid van een kracht tussen twee punten, of de waarde van k die twee vectoren loodrecht maakt.
  • Moeilijk: het uitproduct en momenten. Een component van a × b, de oppervlakte van een parallellogram of driehoek, het moment van een kracht om een punt, een eenheidsnormaalvector, of het volume van een doos uit een drievoudig product.

Stel bij een vraag over loodrechtheid a·b = 0. Dat geeft één lineaire vergelijking in k.

Gebruik voor een driehoek met hoekpunten A, B en C de ribbevectoren AB = B − A en AC = C − A. De oppervlakte is ½·|AB × AC|.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xy135°F1​F2​

Twee krachten werken in een punt in het xy-vlak: F₁ = 110 N onder 0° en F₂ = 190 N onder 135°, beide linksom gemeten vanaf de positieve x-as. Bepaal de richting φ van hun resultante, linksom gemeten vanaf de positieve x-as (tussen 0° en 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Gevraagd: φ (°)

Hints tonen
  1. Splits elke kracht in x- en y-componenten.
  2. Tel de x-componenten en de y-componenten apart op.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Componenten van de resultante

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Richting

Rₓ is negatief, dus de resultante wijst naar het tweede of derde kwadrant: tel 180° op bij de hoek van de rekenmachine.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Antwoord

φ = 100,3°
Voorbeeld 2Gemiddeld
xyzab

Bepaal de waarde van k waarvoor de vectoren a = (−4, −4, 0) en b = (k, 6, 4) loodrecht op elkaar staan.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Gevraagd: k

Hints tonen
  1. Loodrechte vectoren hebben een inwendig product van nul.
  2. Schrijf a·b = 0 met k als onbekende en los de lineaire vergelijking op.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Inwendig product is gelijk aan nul

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Los op naar k

k = −(−24)/(−4) = −6

Antwoord

k = −6
Voorbeeld 3Moeilijk
xyzABC

Bepaal de oppervlakte A van de driehoek met hoekpunten A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) en C(1, 4, −4). Coördinaten zijn in meter.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Gevraagd: A (m²)

Hints tonen
  1. Maak twee zijdevectoren vanuit hetzelfde hoekpunt: AB = B − A en AC = C − A.
  2. De oppervlakte is ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Zijdevectoren

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Uitwendig product

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Oppervlakte van de driehoek

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Antwoord

A = 18,99 m²

Vragen en antwoorden

Vectoren: inwendig en uitwendig product: wat is het?

Sommige grootheden hebben alleen een getal nodig: een massa van 5 kg of een temperatuur van 20 °C. Dit zijn scalairen.

Andere grootheden hebben ook een richting nodig. Een kracht van 40 N die omhoog duwt is heel anders dan 40 N die zijwaarts duwt. Dit zijn vectoren.

Vectoren: inwendig en uitwendig product: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Schrijf elke vector in componenten; voor een kracht gegeven door een grootte en een hoek gebruik je F·cos θ en F·sin θ.
  2. Gebruik voor lengtes en richtingen de grootte √(x² + y² + z²) en de eenheidsvector a/|a|.
  3. Gebruik het inwendig product voor hoeken, projecties, loodrechte stand en arbeid: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gebruik het uitwendig product voor loodrechte vectoren, oppervlakten en momenten: schrijf de drie componenten zorgvuldig uit en houd de volgorde a × b aan.
Vectoren: inwendig en uitwendig product: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Groottes optellen in plaats van componenten.
  • Het teken van de middelste (y-)component van een uitwendig product fout hebben.
  • De positie van het punt gebruiken in plaats van r = A − O bij een moment.
  • De arctan nemen zonder het kwadrant te controleren.
Vectoren: inwendig en uitwendig product: wat oefen je?
  • Makkelijk: grootte en componenten
  • Gemiddeld: inwendig product
  • Moeilijk: uitwendig product en momenten

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Vakken met dit onderwerp

StaticaWiskunde voor ingenieursTechnische wiskunde 2

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Vectoren: inwendig en uitwendig product met antwoorden
Oefen Vectoren: inwendig en uitwendig product gratisOefen nu Vectoren: inwendig en uitwendig productElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.