Multivariabele analyse: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: partiële afgeleiden · dubbelintegralen · functies van meer variabelen

Gratis oefenopgaven over Multivariabele analyse met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: partiële afgeleiden en dubbele integralen, gradiënt, raakvlak en kettingregel, kritieke punten en integralen over gebieden.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
xy3−3P

Bepaal voor f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy de partiële afgeleide ∂f/∂x in het punt (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Volgende opgave →
Oefen Multivariabele analyse gratisOefen nu Multivariabele analyseElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkpartiële afgeleiden en dubbele integralen
  2. Gemiddeldgradiënt, raakvlak en kettingregel
  3. Moeilijkkritieke punten en integralen over gebieden

Zo los je opgaven over Multivariabele analyse op

  1. Behandel bij een partiële afgeleide de andere variabele als constante en gebruik de regels voor één variabele.
  2. Bereken bij gradiëntvragen ∇f = (fx, fy) in het punt; gebruik |∇f| voor de steilste helling en ∇f·u met een eenheidsvector u voor een richtingsafgeleide.
  3. Los voor extrema fx = 0 en fy = 0 samen op en classificeer dan elk punt met D = fxx·fyy − fxy².
  4. Schets bij een dubbele integraal het gebied, kies de volgorde (of poolcoördinaten voor schijven) zodat de binnenste grenzen de begrenzende krommen zijn, en integreer de binnenste eerst.

Veelgemaakte fouten

  • De variabele differentiëren die constant gehouden moet worden.
  • Vergeten de richtingsvector te normaliseren.
  • D = fxx·fyy + fxy² schrijven of een punt met D < 0 een extremum noemen.
  • Constante binnenste grenzen gebruiken voor een gebied dat door krommen wordt begrensd.
  • De factor r weglaten in dA = r dr dθ.

Belangrijke formules

Partiële afgeleiden
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiënt
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtingsafgeleide
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Raakvlak
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettingregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Tweede-afgeleidentest
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dubbele integraal
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Poolcoördinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Leer Multivariabele analyse vanaf nul

Hiervoor: Afgeleiden, Integralen

1Partiële afgeleiden

Een functie van twee variabelen, z = f(x, y), is een oppervlak boven het xy-vlak. Op een kaart wordt ze getekend met niveaulijnen, lijnen waarop f dezelfde waarde heeft.

Een partiële afgeleide meet de helling in één richting. Voor ∂f/∂x (ook geschreven als fx) houd je y constant en differentieer je naar x, met de gewone regels.

Voorbeeld: f(x, y) = x²y + 3y². Behandel y als een getal voor fx, en x als een getal voor fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

In (1, 2) geeft dit fx = 4 en fy = 1 + 12 = 13.

Nogmaals differentiëren geeft de tweede partiële afgeleiden fxx, fyy en fxy. De volgorde van de gemengde afgeleide doet er niet toe: fxy = fyx. Hier is fxy = 2x.

Zelftoets Wat is ∂f/∂y voor f(x, y) = x³y²?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Antwoord: 2x³y. Houd x constant: x³ is een constante factor, en y² geeft 2y, dus fy = 2x³y. 3x²y² is ∂f/∂x.

2Gradiënt en richtingsafgeleide

De gradiënt bundelt beide partiële afgeleiden: ∇f = (fx, fy). Hij wijst in de richting waarin f het snelst stijgt, loodrecht op de niveaulijn.

xy∇fP

De steilste helling zelf is de lengte |∇f| = √(fx² + fy²).

De helling in elke andere richting v is de richtingsafgeleide. Maak v eerst een eenheidsvector u = v/|v| en neem dan het inproduct:

Duf = ∇f·u

Voor f = x²y + 3y² in (1, 2): ∇f = (4, 13). In de richting v = (3, 4) is u = (0,6; 0,8), dus Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Zelftoets In een punt is ∇f = (3, 4). Wat is daar de grootste toenamesnelheid van f?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Antwoord: 5. Die is |∇f| = √(3² + 4²) = 5. De componenten optellen geeft 7, en de wortel vergeten geeft 25.

3Raakvlak en kettingregel

Nabij een punt (a, b) is het oppervlak bijna vlak. Het raakvlak is

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Het geeft de lineaire benadering f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Voorbeeld: f = x²y + 3y² heeft f(1, 2) = 14, dus nabij (1, 2): f(1,1; 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. De exacte waarde is 13,129.

Als x en y beide van t afhangen, telt de kettingregel de twee routes op: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Kritieke punten

Bij een maximum, een minimum of een zadelpunt is het oppervlak vlak: fx = 0 en fy = 0. Zulke punten zijn kritieke punten.

De tweede-afgeleidentest gebruikt D = fxxfyy − fxy² in het punt:

  • D > 0 en fxx > 0: lokaal minimum.
  • D > 0 en fxx < 0: lokaal maximum.
  • D < 0: zadelpunt, omhoog in de ene richting en omlaag in een andere.
  • D = 0: de test beslist niets.
Uitgewerkt voorbeeld

Bepaal en classificeer de kritieke punten van f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Stel beide partiële afgeleiden gelijk aan nul

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

De kritieke punten zijn (1, 2) en (−1, 2).

2

Tweede afgeleiden

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Test (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 en fxx = 6 > 0: een lokaal minimum, met f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Test (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: een zadelpunt.

Antwoord

Lokaal minimum in (1, 2) met f = −6; zadelpunt in (−1, 2).

5Dubbele integralen

Een dubbele integraal ∬R f dA telt f op over een gebied R; voor f = 1 is het de oppervlakte van R. Bereken haar als twee enkele integralen, de binnenste eerst.

Over een rechthoek zijn de grenzen getallen: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. De binnenste integraal geeft x + 1, en ∫02 (x + 1) dx = 4.

Over een algemeen gebied zijn de binnenste grenzen de krommen die het begrenzen. Voor het gebied tussen y = x² en y = 2x loopt y van x² tot 2x, en x van 0 tot 2.

xyy = 2xy = x²2
Oppervlakte = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten: x² + y² = r² en dA = r dr dθ. Over de schijf r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Zelftoets Wat wordt dA in poolcoördinaten?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Antwoord: r dr dθ. Een klein poolstukje is Δr breed en r·Δθ lang, dus dA = r dr dθ. De factor r vergeten is de meest voorkomende fout.

6Veelgemaakte fouten en tentamenvragen

  • Ook de “constante” variabele differentiëren bij een partiële afgeleide.
  • v gebruiken in plaats van de eenheidsvector u bij een richtingsafgeleide.
  • D = fxxfyy + fxy² schrijven, of een punt met D < 0 als extremum classificeren.
  • Getallen als binnenste grenzen gebruiken terwijl het gebied door krommen wordt begrensd.
  • De factor r vergeten in poolcoördinaten.

Makkelijk: partiële afgeleiden in een punt en integralen over rechthoeken. Gemiddeld: gradiënt, richtingsafgeleide, raakvlak en kettingregel. Moeilijk: kritieke punten classificeren en integralen over gekromde gebieden, in poolcoördinaten of met omgekeerde volgorde.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
xy−1−3P

Bepaal voor f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy de partiële afgeleide ∂f/∂x in het punt (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Gevraagd: fx(−1, −3)

Hints tonen
  1. Behandel y als een constant getal en differentieer naar x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Vul x = −1 en y = −3 in.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Partiële afgeleiden: ∂f/∂x is de gewone afgeleide naar x terwijl y constant wordt gehouden (behandel y als een getal), en ∂f/∂y andersom. De regels (macht, product, ketting) zijn dezelfde als bij één variabele. Gemengde tweede afgeleiden geven in beide volgordes hetzelfde resultaat: fxy = fyx. Een dubbele integraal over een rechthoek wordt berekend als twee enkele integralen, de binnenste eerst: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Differentieer

y wordt constant gehouden.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Invullen

fx(−1, −3) = −4

Antwoord

fx(−1, −3) = −4
Voorbeeld 2Gemiddeld

z = 2x²e3y met x = −t − 2 en y = t² + 2. Gebruik de kettingregel om dz/dt te bepalen bij t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Gevraagd: dz/dt

Hints tonen
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Bij t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Gradiënt: ∇f = (fx, fy) wijst in de richting van de steilste stijging, en |∇f| is de grootste veranderingssnelheid. De richtingsafgeleide langs een richting v is Duf = ∇f·u met de eenheidsvector u = v/|v|. Het raakvlak in (a, b) is z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); het geeft de lineaire benadering van f nabij dat punt. Kettingregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punt en snelheden

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Partiële afgeleiden

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Kettingregel

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Antwoord

dz/dt = 3227
Voorbeeld 3Moeilijk
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy heeft een kritiek punt in (1, 1). Bereken daar de discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Gevraagd: D

Hints tonen
  1. Bepaal de drie tweede afgeleiden fxx, fyy en fxy.
  2. In het punt: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Kritieke punten en dubbele integralen: een kritiek punt heeft fx = fy = 0. Tweede-afgeleidentest met D = fxxfyy − fxy²: D > 0 en fxx > 0 is een lokaal minimum, D > 0 en fxx < 0 een lokaal maximum, D < 0 een zadelpunt, en D = 0 beslist niets. Laat bij een dubbele integraal over een algemeen gebied de binnenste grenzen de krommen zijn die het gebied begrenzen; gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten, x = r cos θ, y = r sin θ en dA = r dr dθ (vergeet de factor r niet).

Tweede afgeleiden

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Discriminant

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ lokaal minimum

Antwoord

D = 27

Vragen en antwoorden

Multivariabele analyse: wat is het?

Een functie van twee variabelen, z = f(x, y), is een oppervlak boven het xy-vlak. Op een kaart wordt ze getekend met niveaulijnen, lijnen waarop f dezelfde waarde heeft.

Een partiële afgeleide meet de helling in één richting. Voor ∂f/∂x (ook geschreven als fx) houd je y constant en differentieer je naar x, met de gewone regels.

Multivariabele analyse: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Behandel bij een partiële afgeleide de andere variabele als constante en gebruik de regels voor één variabele.
  2. Bereken bij gradiëntvragen ∇f = (fx, fy) in het punt; gebruik |∇f| voor de steilste helling en ∇f·u met een eenheidsvector u voor een richtingsafgeleide.
  3. Los voor extrema fx = 0 en fy = 0 samen op en classificeer dan elk punt met D = fxx·fyy − fxy².
  4. Schets bij een dubbele integraal het gebied, kies de volgorde (of poolcoördinaten voor schijven) zodat de binnenste grenzen de begrenzende krommen zijn, en integreer de binnenste eerst.
Multivariabele analyse: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • De variabele differentiëren die constant gehouden moet worden.
  • Vergeten de richtingsvector te normaliseren.
  • D = fxx·fyy + fxy² schrijven of een punt met D < 0 een extremum noemen.
  • Constante binnenste grenzen gebruiken voor een gebied dat door krommen wordt begrensd.
  • De factor r weglaten in dA = r dr dθ.
Multivariabele analyse: wat oefen je?
  • Makkelijk: partiële afgeleiden en dubbele integralen
  • Gemiddeld: gradiënt, raakvlak en kettingregel
  • Moeilijk: kritieke punten en integralen over gebieden

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

AfgeleidenIntegralen

Vakken met dit onderwerp

Technische wiskunde 2Analyse 2

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Multivariabele analyse met antwoorden
Oefen Multivariabele analyse gratisOefen nu Multivariabele analyseElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.