Optimalisatie: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Gratis oefenopgaven over Optimalisatie met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: maximale oppervlakte of inhoud, minimale kosten of minimaal materiaal, winst en omzet.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
rivierxxy

Een boer heeft 240 m hek om een rechthoekig stuk land langs een rechte rivier te omheinen. Langs de rivier is geen hek nodig. Bereken de grootste oppervlakte A die kan worden omheind.

240 m2x + y = 240
m²
Volgende opgave →
Oefen Optimalisatie gratisOefen nu OptimalisatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkmaximale oppervlakte of inhoud
  2. Gemiddeldminimale kosten of minimaal materiaal
  3. Moeilijkwinst en omzet

Belangrijke formules

Methode
schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Leer Optimalisatie vanaf nul

Hiervoor: Afgeleiden

1Wat optimalisatie is

Optimaliseren betekent de beste waarde vinden: de grootste oppervlakte bij een gegeven lengte hek, het minste metaal voor een blik, of de hoogste winst.

De grootheid die je zo groot of zo klein mogelijk wilt maken, hangt af van één variabele, bijvoorbeeld de breedte x van een veld.

Stel je haar grafiek voor. Op de top van een heuvel en op de bodem van een dal is de grafiek even vlak. De helling is daar dus nul.

Dat is het kernidee: bij een maximum of een minimum is de afgeleide 0. Je vindt de beste x door Q′(x) = 0 op te lossen.

Zelftoets De oppervlakte A(x) van een veld heeft haar grootste waarde bij x = 12. Wat is A′(12)?
  1. 0
  2. Een negatief getal
  3. Een positief getal
  4. Hetzelfde als A(12)

Antwoord: 0. Op de top van de grafiek is de raaklijn horizontaal, dus de helling is 0. Een positieve helling betekent dat de oppervlakte nog toeneemt.

2Het doel en de randvoorwaarde

Elk optimalisatieprobleem heeft twee delen. Benoem ze voordat je iets uitrekent.

  • Het doel: de grootheid die je maximaliseert of minimaliseert, zoals een oppervlakte A of kosten C.
  • De randvoorwaarde (constraint): een vaste voorwaarde, zoals de totale lengte hek of het volume dat een blik moet bevatten.

Het doel heeft meestal twee variabelen, bijvoorbeeld A = x · y. Dat kun je nog niet differentiëren.

Gebruik de randvoorwaarde om y in termen van x te schrijven. Dan hangt het doel alleen van x af.

Voorbeeld: een rechthoek met een omtrek van 20 m heeft 2x + 2y = 20, dus y = 10 − x en A(x) = x(10 − x) = 10x − x².

Maak eerst een schets en schrijf elke lengte erop. De meeste fouten ontstaan bij de randvoorwaarde.

Zelftoets Een veld langs een rivier wordt aan drie kanten omheind met 40 m: twee zijden met lengte x en één zijde y evenwijdig aan de rivier. Wat is de randvoorwaarde?
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

Antwoord: 2x + y = 40. Er zijn drie hekken: x, x en y. De rivierkant heeft geen hek nodig. 2x + 2y zou een volledige rechthoek zijn met vier omheinde zijden.

3Kosten- en winstproblemen

Bij bedrijfsproblemen is het doel de winst: omzet min kosten.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

Hier is q het aantal verkochte eenheden en p de prijs per eenheid. Als de prijs van q afhangt, vul die formule dan eerst in R in.

Voorbeeld: de prijs is p = 60 − q en de kosten zijn C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

De beste prijs is dan p = 60 − 15 = €45. Lees de vraag zorgvuldig: ze kan om q, p of de winst P zelf vragen.

Zelftoets Een product wordt verkocht voor €40 per eenheid. De kosten van q eenheden zijn C = 100 + 10q + 0,5q² euro. Welke productie q geeft de hoogste winst?
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

Antwoord: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², dus P′ = 30 − q = 0 en q = 30. De 2 vergeten als je 0,5q² differentieert geeft 60.

4De methode stap voor stap

  1. Maak een schets en benoem de variabelen.
  2. Schrijf het doel Q (oppervlakte, kosten, winst) en de randvoorwaarde op.
  3. Gebruik de randvoorwaarde om Q als functie van één variabele te schrijven, Q(x).
  4. Differentieer en los Q′(x) = 0 op.
  5. Controleer of het de juiste soort punt is: Q″ < 0 voor een maximum, Q″ > 0 voor een minimum.
  6. Beantwoord de vraag die gesteld werd: x, de andere zijde, of de beste waarde van Q zelf, met eenheden.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een boer heeft 60 m hekwerk voor een rechthoekig veld langs een rechte rivier. Langs de rivier is geen hek nodig. Bepaal de zijde y evenwijdig aan de rivier en de grootste oppervlakte A.

1

Schets en randvoorwaarde

xxyA

De rivier ligt bovenaan, dus slechts drie zijden hebben een hek nodig: twee zijden x en één zijde y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

Oppervlakte in één variabele

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

Is het een maximum?

A″(x) = −4 < 0

De tweede afgeleide is negatief, dus x = 15 m geeft de grootste oppervlakte.

xA(15, 450)1530
5

Andere zijde en oppervlakte

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

Controleer het antwoord

Probeer aan elke kant een waarde. x = 14 geeft 14 · 32 = 448 m², en x = 16 geeft 16 · 28 = 448 m². Beide zijn kleiner dan 450 m².

Antwoord

y = 30 m en de grootste oppervlakte is A = 450 m².

6Veelgemaakte fouten

  • Het antwoord voor de verkeerde grootheid geven: de vraag vraagt om y, en je geeft x.
  • Een doel differentiëren dat nog twee variabelen heeft. Gebruik eerst de randvoorwaarde.
  • De verkeerde randvoorwaarde opschrijven, bijvoorbeeld ook de rivierkant omheinen.
  • Niet controleren of het punt een maximum of een minimum is.
  • Eenheden vergeten, of een oppervlakte in m geven in plaats van m².
Zelftoets Bij 40 m hek langs een rivier (2x + y = 40) is de beste breedte x = 10 m. De vraag vraagt om de zijde y evenwijdig aan de rivier. Wat antwoord je?
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

Antwoord: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. 10 m antwoorden geeft x in plaats van y, en 200 m² is de oppervlakte, geen zijde.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: maximale oppervlakte of volume, zoals een veld langs een rivier of een pen die door een extra hek is verdeeld.
  • Gemiddeld: minimale kosten of materiaal, zoals een gesloten blik (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) of een hek met twee prijzen per meter.
  • Moeilijk: winst en omzet. Stel P = R − C op, los P′(q) = 0 op en bepaal dan de prijs of de maximale winst.

Een snelle controle: vul een waarde iets boven en iets onder je antwoord in Q in. Beide moeten slechter zijn.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
x18 cm18 cmx

Een open doos wordt gemaakt van een vierkante plaat karton van 18 cm × 18 cm door uit de vier hoeken gelijke vierkanten met zijde x te knippen en de zijkanten omhoog te vouwen. Bereken het grootst mogelijke volume V.

18 cm × 18 cm

Gevraagd: V (cm³)

Hints tonen
  1. De bodem meet (18 − 2x) bij (18 − 2x) en de hoogte is x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Alleen een wortel met 0 < x < 9 is zinvol.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Volume als functie van x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

Afgeleide gelijk aan nul stellen

De grootste wortel geeft een bodemzijde ≤ 0, dus die ligt buiten het toegestane bereik.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 of x = 9
x = 3 cm

Volume

V = 3·12·12 = 432 cm³

Antwoord

V = 432 cm³
Voorbeeld 2Gemiddeld
rh

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 400 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de kleinst mogelijke buitenoppervlakte A.

V = 400 cm³

Gevraagd: A (cm²)

Hints tonen
  1. Gebruik het volume om h te elimineren: πr²h = 400, dus h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Antwoord

A = 300,5 cm²

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

Voorbeeld 3Moeilijk
p (€)R(p)10nu

Een theater verkoopt 580 kaartjes per voorstelling voor €10 per stuk. Marktonderzoek laat zien dat elke verhoging van de kaartprijs met €1 20 minder verkochte kaartjes betekent (en elke verlaging met €1 er 20 meer). Bereken de maximale omzet R per voorstelling.

580 × €1020 / €1

Gevraagd: R (€)

Hints tonen
  1. Verkochte kaartjes bij prijs p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Omzet als functie van de prijs

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

Afgeleide gelijk aan nul stellen

R″(p) = −40 < 0, dus dit is een maximum.

p = 780/40 = €19,5

Maximale omzet

n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605

Antwoord

R = €7605

Vragen en antwoorden

Optimalisatie: wat is het?

Optimaliseren betekent de beste waarde vinden: de grootste oppervlakte bij een gegeven lengte hek, het minste metaal voor een blik, of de hoogste winst.

De grootheid die je zo groot of zo klein mogelijk wilt maken, hangt af van één variabele, bijvoorbeeld de breedte x van een veld.

Optimalisatie: hoe los je de opgaven stap voor stap op?

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Optimalisatie: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Elke zijde van de bodem verliest aan beide uiteinden een vierkant, dus de bodemzijden zijn a − 2x en b − 2x, niet a − x en b − x.
  • Het blik is gesloten: tel zowel het deksel als de bodem mee, A = 2πr² + 2πrh.
  • Dat is de omzet bij de huidige prijs. Zoek eerst de prijs waarbij R′(p) = 0.
Optimalisatie: wat oefen je?
  • Makkelijk: maximale oppervlakte of inhoud
  • Gemiddeld: minimale kosten of minimaal materiaal
  • Moeilijk: winst en omzet

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Afgeleiden

Vakken met dit onderwerp

Calculus 1Oefenopgaven AP Calculus

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Optimalisatie met antwoorden
Oefen Optimalisatie gratisOefen nu OptimalisatieElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.