Rijen & reeksen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: rijen en reeksen · convergentie van reeksen · Taylorreeks

Gratis oefenopgaven over Rijen & reeksen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: rekenkundige en meetkundige reeksen, convergentie en machtreeksen, Taylor- en Maclaurinpolynomen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
kak​12345678

Bepaal de som S8 van de eerste 8 termen van de meetkundige rij 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Volgende opgave →
Oefen Rijen & reeksen gratisOefen nu Rijen & reeksenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkrekenkundige en meetkundige reeksen
  2. Gemiddeldconvergentie en machtreeksen
  3. MoeilijkTaylor- en Maclaurinpolynomen

Zo los je opgaven over Rijen & reeksen op

  1. Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
  2. Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
  3. Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
  4. Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Veelgemaakte fouten

  • n gebruiken in plaats van n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d of a₁rⁿ⁻¹.
  • De formule voor de oneindige som gebruiken als |r| ≥ 1, of met de verkeerde eerste term.
  • Concluderen dat een reeks convergeert alleen omdat de termen naar 0 gaan.
  • De limiet van het quotiëntcriterium omkeren: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, niet het omgekeerde ervan.
  • De faculteiten of de wisselende tekens in een Taylorpolynoom vergeten.

Belangrijke formules

Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Leer Rijen & reeksen vanaf nul

Hiervoor: Limieten, Afgeleiden

1Rekenkundige en meetkundige rijen

Een rij is een lijst getallen a₁, a₂, a₃, … en een reeks is hun som. Twee soorten komen in elk tentamen terug.

Een rekenkundige rij telt elke stap hetzelfde verschil d op: 3, 7, 11, 15, … heeft d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Voor 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 en S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Let op de n − 1: van de eerste tot de 20e term zijn er maar 19 stappen.

Een meetkundige rij vermenigvuldigt elke stap met dezelfde reden r: 2, 6, 18, … heeft r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Zelftoets Wat is de 10e term van 5, 8, 11, 14, …?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Antwoord: 32. d = 3, dus a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. 10·3 gebruiken in plaats van 9·3 geeft 35.

2Oneindige meetkundige reeks

Blijf termen van 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … optellen en de som kruipt omhoog naar 4 zonder dat ooit te overschrijden.

nSₙ4123456789233,5

Als |r| < 1 gaat de term rⁿ in Sₙ naar 0, en bestaat de oneindige som:

S = a₁/(1 − r), alleen als |r| < 1

Hier is a₁ de eerste term van de som. Voor Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ is de eerste term 8·(1/2)² = 2, dus S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Als |r| ≥ 1 worden de termen niet kleiner en heeft de reeks geen som: ze divergeert.

Zelftoets Wat is Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Antwoord: 4. De eerste term (k = 0) is 3 en r = 1/4, dus S = 3/(1 − 1/4) = 4. 1 + r in de noemer gebruiken geeft 2,4.

3Convergeert een reeks?

De meeste reeksen hebben geen eenvoudige somformule, maar je kunt toch bepalen of de som eindig is. Gebruik de testen in deze volgorde:

  1. Test op de n-de term: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks. Σ k/(k + 1) divergeert omdat haar termen naar 1 gaan.
  2. Standaardreeksen: Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1 (dus Σ1/k, de harmonische reeks, divergeert). Σrᵏ convergeert alleen voor |r| < 1.
  3. Vergelijking: 1/(k² + 3) is kleiner dan 1/k², dus Σ1/(k² + 3) convergeert ook.
  4. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 geeft geen antwoord. Gebruik het bij faculteiten en k-de machten.
  5. Alternerende reeks: Σ(−1)ᵏ/k convergeert, omdat de termen van teken wisselen en naar 0 afnemen.

Voorbeeld: voor Σ k/2ᵏ is de verhouding ((k + 1)/k)·(1/2), die naar L = 1/2 < 1 gaat, dus ze convergeert.

Zelftoets Welke van deze reeksen divergeert?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Antwoord: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 is een p-reeks met p = 1/2 ≤ 1, dus ze divergeert. 1/k² heeft p = 2, (2/3)ᵏ is meetkundig met r < 1, en het quotiëntcriterium geeft L = 0 voor 3ᵏ/k!.

4Machtreeksen en de convergentiestraal

Een machtreeks Σ ck(x − x₀)ᵏ is een polynoom zonder einde. Ze convergeert voor x dicht genoeg bij het middelpunt x₀.

Het quotiëntcriterium op de hele term geeft de convergentiestraal R: de reeks convergeert voor |x − x₀| < R en divergeert voor |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Voorbeeld: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) heeft ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, wat naar 3 gaat. Dus R = 3 en de reeks convergeert voor −3 < x < 3.

In de twee eindpunten geeft de test geen antwoord; controleer ze apart als de vraag om het volledige interval vraagt.

5Taylor- en Maclaurinpolynomen

Nabij een punt a lijkt een gladde functie op een polynoom. Het Taylorpolynoom van graad n komt overeen met de waarde en de eerste n afgeleiden in a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Voor a = 0 heet het het Maclaurinpolynoom. Leer deze reeksen uit je hoofd:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Hoe meer termen je neemt, hoe langer het polynoom dicht bij de functie blijft.

Uitgewerkt voorbeeld

Benader e0,5 met het Maclaurinpolynoom van graad 3 en begrens de fout.

1

Schrijf het polynoom op

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Vul x = 0,5 in

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Lagrange-foutgrens

De fout is hoogstens M·|x|⁴/4!, waarbij M de grootste waarde van de vierde afgeleide eᵗ tussen 0 en 0,5 is: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

Vergelijken

De rekenmachine geeft e0,5 = 1,648721, dus de werkelijke fout is 0,0029, binnen de grens.

Antwoord

e0,5 ≈ 1,6458, met een fout van hoogstens 0,0043.

6Veelgemaakte fouten en tentamenvragen

  • n gebruiken in plaats van n − 1 stappen voor de n-de term.
  • a/(1 − r) schrijven met de verkeerde eerste term als de som niet bij k = 0 begint.
  • Concluderen dat een reeks convergeert omdat haar termen naar 0 gaan. Σ1/k is het tegenvoorbeeld.
  • De faculteiten in een Taylorpolynoom vergeten, of de minstekens van sin en cos.
  • |x|ⁿ/n! gebruiken in plaats van |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! in de foutgrens.

Makkelijk: sommen van rekenkundige en meetkundige rijen. Gemiddeld: convergentie bepalen, het quotiëntcriterium en de convergentiestraal. Moeilijk: Taylorpolynomen, hun coëfficiënten en foutgrenzen.

Zelftoets Wat is de coëfficiënt van x³ in de Maclaurinreeks van sin x?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Antwoord: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, en 3! = 6, dus de coëfficiënt is −1/6. Het minteken vergeten geeft 1/6.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
kak​13579111315ε = 0,2

De meetkundige rij aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ daalt. Bepaal de eerste index n waarvoor aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Gevraagd: n

Hints tonen
  1. Los 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 op met logaritmen.
  2. ln 0,85 is negatief: delen daardoor draait de ongelijkheid om.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Rekenkundige en meetkundige reeksen: een rekenkundige rij telt elke stap hetzelfde verschil d op, aₙ = a₁ + (n − 1)d, en zijn som is Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Een meetkundige rij vermenigvuldigt met dezelfde reden r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, met Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Als |r| < 1 nemen de termen snel genoeg af voor het bestaan van de oneindige som: S = a₁/(1 − r), waarbij a₁ de eerste term van de som is.

Ongelijkheid

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logaritmen

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Controle

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Antwoord

n = 21
Voorbeeld 2Gemiddeld
kSn​12345678910S = ?

Bepaal de som S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Gevraagd: S

Hints tonen
  1. Partiële breuken: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Schrijf de eerste paar termen uit: de meeste vallen weg (een telescoopsom).
  3. Wat overblijft is (12/3)·(1 + … + 1/3).
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Annuleren

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwoord

S = 7,333
Voorbeeld 3Moeilijk

f(x) = cos x wordt in x = 1 benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad n. Bepaal met de Lagrange-grens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en M = 1 de kleinste graad n die een fout kleiner dan 1 × 10⁻⁶ garandeert.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Gevraagd: n

Hints tonen
  1. Probeer n = 1, 2, 3, … en bereken elke keer 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
  2. De faculteit groeit snel, dus een paar stappen zijn genoeg.
  3. Stop bij de eerste n waarvoor de grens onder 1 × 10⁻⁶ ligt.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

n(n + 1)!grens011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Grenzen voor toenemende n

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Kleinste graad

n = 9

Antwoord

n = 9

Vragen en antwoorden

Rijen & reeksen: wat is het?

Een rij is een lijst getallen a₁, a₂, a₃, … en een reeks is hun som. Twee soorten komen in elk tentamen terug.

Een rekenkundige rij telt elke stap hetzelfde verschil d op: 3, 7, 11, 15, … heeft d = 4.

Rijen & reeksen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
  2. Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
  3. Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
  4. Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Rijen & reeksen: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • n gebruiken in plaats van n − 1 in aₙ = a₁ + (n − 1)d of a₁rⁿ⁻¹.
  • De formule voor de oneindige som gebruiken als |r| ≥ 1, of met de verkeerde eerste term.
  • Concluderen dat een reeks convergeert alleen omdat de termen naar 0 gaan.
  • De limiet van het quotiëntcriterium omkeren: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, niet het omgekeerde ervan.
  • De faculteiten of de wisselende tekens in een Taylorpolynoom vergeten.
Rijen & reeksen: wat oefen je?
  • Makkelijk: rekenkundige en meetkundige reeksen
  • Gemiddeld: convergentie en machtreeksen
  • Moeilijk: Taylor- en Maclaurinpolynomen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

LimietenAfgeleiden

Vakken met dit onderwerp

Technische wiskunde 2Analyse 2Numerieke methodenOefenopgaven AP Calculus

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenHypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Rijen & reeksen met antwoorden
Oefen Rijen & reeksen gratisOefen nu Rijen & reeksenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.