Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen: oefenopgaven met stapsgewijze oplossingen

Ook wel: hypothese toetsen · t-toets · p-waarde

Gratis oefenopgaven over Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen met schema’s, hints en volledig uitgewerkte oplossingen. Elke keer nieuwe waarden, op drie niveaus: z-toets, t-toets, betrouwbaarheidsintervallen.

Gratis oefenopgaveMakkelijk
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Een leverancier beweert dat de gemiddelde breeksterkte van een kabel 50 kN is; je vermoedt dat die hoger is. De standaardafwijking is bekend en is 8 kN. Je neemt een steekproef van 25 kabels en toetst H₀: μ = 50 kN tegen H₁: μ > 50 kN bij α = 0,05. Boven welk steekproefgemiddelde x̄c verwerp je H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Volgende opgave →
Oefen Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen gratisOefen nu Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.

Wat je oefent

  1. Makkelijkz-toets
  2. Gemiddeldt-toets
  3. Moeilijkbetrouwbaarheidsintervallen

Zo los je opgaven over Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen op

  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.

Veelgemaakte fouten

  • Een eenzijdige kritieke waarde gebruiken voor een tweezijdige toets.
  • Zeggen dat H₀ bewezen is als ze niet wordt verworpen.
  • √n vergeten in de standaardfout.

Belangrijke formules

z-toets voor een gemiddelde
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-toets voor een gemiddelde
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Tweezijdig bij 5%
verwerp H0 als |z| > 1,96
Betrouwbaarheidsinterval
x̄ ± z·σ/√n

Leer Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen vanaf nul

Hiervoor: Betrouwbaarheidsintervallen

1Het idee van een toets

Een machine moet flessen gemiddeld met 500 mL vullen. Een steekproef van flessen heeft een gemiddelde van 496 mL. Is de machine fout, of is dit gewoon toeval?

Een hypothesetoets beantwoordt die vraag met getallen. Je begint met twee uitspraken:

  • De nulhypothese H₀: er is niets veranderd. Hier H₀: μ = 500.
  • De alternatieve hypothese H₁: wat je vermoedt. Hier H₁: μ ≠ 500 (tweezijdig), of μ < 500 als je je alleen zorgen maakt over te weinig vullen (eenzijdig).

Je neemt aan dat H₀ waar is en vraagt: hoe ongewoon is deze steekproef? Als ze heel ongewoon zou zijn, verwerp je H₀.

Zelftoets Een leverancier beweert dat zijn weerstanden gemiddeld 220 Ω zijn. Je wilt deze bewering toetsen. Wat is H₀?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Antwoord: μ = 220 Ω. H₀ is de bewering die getoetst wordt, over het populatiegemiddelde μ. μ ≠ 220 Ω is de alternatieve hypothese H₁, en een hypothese gaat nooit over het steekproefgemiddelde x̄, dat je al kent.

2De toetsingsgrootheid

De toetsingsgrootheid meet hoe ver het steekproefgemiddelde van μ₀ ligt, de waarde in H₀, in eenheden van de standaardfout.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Gebruik z als de standaardafwijking van de populatie σ bekend is. Als alleen de standaardafwijking van de steekproef s bekend is, gebruik je t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Een waarde van z of t dicht bij 0 betekent dat de steekproef overeenkomt met H₀. Een grote positieve of negatieve waarde betekent dat de steekproef ver van μ₀ ligt.

Zelftoets H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 en x̄ = 118. Wat is z?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Antwoord: −1. De standaardfout is 8/√16 = 2, dus z = (118 − 120)/2 = −1. Delen door σ = 8 in plaats van door σ/√n geeft −0,25. Het teken is negatief omdat x̄ onder μ₀ ligt.

3Beslissen: kritieke waarden en p-waarden

Kies voordat je naar de data kijkt het significantieniveau α, meestal 0,05. Het is het risico dat je accepteert om een ware H₀ te verwerpen.

Voor een z-toets bij α = 0,05:

  • Tweezijdig (H₁: μ ≠ μ₀): verwerp H₀ als |z| > 1,96.
  • Eenzijdig (H₁: μ > μ₀): verwerp H₀ als z > 1,645. Voor μ < μ₀: verwerp als z < −1,645.

De p-waarde is de kans op een uitkomst die minstens zo extreem is, als H₀ waar is. Verwerp H₀ als p < α.

H₀ niet verwerpen bewijst haar niet. Het betekent alleen dat de data geen sterk genoeg bewijs ertegen vormen.

Een toets en een betrouwbaarheidsinterval komen overeen: een tweezijdige toets op 5% verwerpt H₀ precies als μ₀ buiten het 95%-interval x̄ ± 1,96 · σ/√n ligt.

Zelftoets Een tweezijdige z-toets bij α = 0,05 geeft z = 1,8. Wat concludeer je?
  1. H₀ is bewezen waar
  2. H₀ niet verwerpen
  3. H₀ verwerpen
  4. H₁ verwerpen en H₀ als bewezen accepteren

Antwoord: H₀ niet verwerpen. |1,8| is kleiner dan 1,96, dus het resultaat is niet significant en H₀ wordt niet verworpen. Dat bewijst H₀ niet; het bewijs is alleen niet sterk genoeg.

4De methode stap voor stap

  1. Stel H₀ en H₁ op en bepaal of de toets eenzijdig of tweezijdig is.
  2. Kies z (σ bekend) of t (alleen s bekend, df = n − 1).
  3. Bereken de standaardfout σ/√n of s/√n.
  4. Bereken de toetsingsgrootheid (x̄ − μ₀) / standaardfout.
  5. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  6. Formuleer de conclusie in woorden, in termen van de vraag.

5Een uitgewerkt voorbeeld

Volg elke stap. Probeer de volgende stap te voorspellen voordat je hem opent.

Uitgewerkt voorbeeld

Een machine moet flessen gemiddeld met 500 mL vullen. σ = 12 mL. Een steekproef van 36 flessen heeft een gemiddelde van 496 mL. Toets H₀: μ = 500 tegen H₁: μ ≠ 500 bij α = 0,05.

1

Hypotheses

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Dit is tweezijdig, dus de kritieke waarden zijn ±1,96.

2

Standaardfout

σ is bekend, dus gebruik z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Toetsingsgrootheid

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

Vergelijken

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 is groter dan 1,96, dus z ligt in het gearceerde verwerpingsgebied.

5

Controleren met een interval

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

De waarde 500 ligt buiten het 95%-interval, dus het interval geeft dezelfde beslissing.

Antwoord

z = −2. Verwerp H₀ op het 5%-niveau: de gemiddelde vulling van de machine verschilt van 500 mL.

6Veelgemaakte fouten

  • Een eenzijdige kritieke waarde (1,645) gebruiken voor een tweezijdige toets, of andersom.
  • Zeggen dat H₀ bewezen is als ze niet wordt verworpen.
  • √n vergeten in de standaardfout.
  • x̄ − μ₀ verkeerd om schrijven, waardoor het teken van z omklapt.
  • z gebruiken terwijl alleen de s van de steekproef bekend is bij een kleine steekproef.
Zelftoets Een eenzijdige toets met H₁: μ > μ₀ bij α = 0,05 geeft z = 1,8. Wat concludeer je?
  1. H₀ niet verwerpen, want 1,8 < 1,96
  2. H₀ niet verwerpen, want 1,8 < 2,576
  3. H₀ verwerpen, want 1,8 > 1,645
  4. H₀ verwerpen, want z is positief

Antwoord: H₀ verwerpen, want 1,8 > 1,645. Eenzijdig op 5% legt de hele 5% in één staart, dus de kritieke waarde is 1,645. Vergelijken met 1,96 gebruikt per ongeluk de tweezijdige waarde.

7Hoe tentamenvragen eruitzien

  • Makkelijk: de z-statistiek. σ is bekend; bereken z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Gemiddeld: de t-statistiek. Alleen de standaardafwijking van de steekproef s is gegeven; bereken t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Moeilijk: betrouwbaarheidsintervallen. Bepaal de onder- of bovengrens van x̄ ± z · σ/√n bij 95% of 99%.

Een snelle controle: als x̄ onder μ₀ ligt, moet de toetsingsgrootheid negatief zijn.

Leer het stap voor stap in de appLeer het stap voor stap in de app

Uitgewerkte voorbeelden

Voorbeeld 1Makkelijk
z −1,9601,96

Een machine hoort flessen gemiddeld met 100 mL te vullen. De standaardafwijking is bekend en is 4 mL. Een steekproef van 81 flessen heeft een gemiddelde van 99,6 mL. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Gevraagd: z

Hints tonen
  1. De standaardfout van het gemiddelde is de standaardafwijking gedeeld door √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Deel daarna het verschil x̄ − μ₀ door de standaardfout. Houd het teken.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Toetsingsgrootheid

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Antwoord

z = −0,9

|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

Voorbeeld 2Gemiddeld
t −1,99801,998

Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 504,5 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Gevraagd: t

Hints tonen
  1. De standaardfout van het gemiddelde is de standaardafwijking gedeeld door √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Deel daarna het verschil x̄ − μ₀ door de standaardfout. Houd het teken.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Standaardfout

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Toetsingsgrootheid

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Antwoord

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).

Voorbeeld 3Moeilijk
z −2,57602,576

Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 80. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Gevraagd: L

Hints tonen
  1. Betrouwbaarheidsinterval: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 voor 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Toon het antwoord en de stapsgewijze oplossing

Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).

Foutmarge

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Intervalgrens

L = 80 − 6,44 = 73,56

Antwoord

L = 73,56

Vragen en antwoorden

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen: wat is het?

Een machine moet flessen gemiddeld met 500 mL vullen. Een steekproef van flessen heeft een gemiddelde van 496 mL. Is de machine fout, of is dit gewoon toeval?

Een hypothesetoets beantwoordt die vraag met getallen. Je begint met twee uitspraken:

Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen: hoe los je de opgaven stap voor stap op?
  1. Formuleer H₀ en H₁ en bepaal of de toets een- of tweezijdig is.
  2. Bereken de toetsingsgrootheid: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), of met s en t.
  3. Vergelijk met de kritieke waarde, of bepaal de p-waarde.
  4. Verwerp H₀ als de toetsingsgrootheid voorbij de kritieke waarde ligt (p kleiner dan α), en formuleer de conclusie in woorden.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen: wat zijn veelgemaakte fouten?
  • Een eenzijdige kritieke waarde gebruiken voor een tweezijdige toets.
  • Zeggen dat H₀ bewezen is als ze niet wordt verworpen.
  • √n vergeten in de standaardfout.
Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen: wat oefen je?
  • Makkelijk: z-toets
  • Gemiddeld: t-toets
  • Moeilijk: betrouwbaarheidsintervallen

Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord. Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.

Zo werkt het oefenen

  • Elke opgave heeft nieuwe waarden, zodat je de methode leert in plaats van een antwoord.
  • Kom je vast te zitten? Open eerst een kleine hint en de volledige uitleg pas als je die nodig hebt.
  • Je voortgang, fouten en bewaarde opgaven blijven bewaard, zodat je vóór het tentamen kunt herhalen.

Onderwerpen ervoor en erna

Eerst leren

Betrouwbaarheidsintervallen

Daarna verder met

Chikwadraattoetsen

Calculators

t-toets berekenenp-waarde berekenenEenweg-variantieanalyse (ANOVA) berekenen

Vakken met dit onderwerp

Onderzoeksmethoden en statistiek voor psychologieInleiding statistiekStatistiek 2: Inferentiële statistiekEvidence-based practiceOefenopgaven AP StatisticsOefenen voor CFA Level I: kwantitatieve methoden en vastrentende waarden

Meer onderwerpen in Wiskunde & statistiek

LimietenAfgeleidenOptimalisatieIntegralenRijen & reeksenMultivariabele analyseDifferentiaalvergelijkingenComplexe getallenNumerieke methodenMatrices & determinantenVectoren: inwendig en uitwendig productPropositielogica & bewijzenVerzamelingen, relaties & functiesGrafentheorieGetaltheorie & modulair rekenenKansrekeningBeschrijvende statistiekNormale verdelingBetrouwbaarheidsintervallenLineaire regressie en correlatieChikwadraattoetsen

Printbaar werkblad

Werkblad Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen met antwoorden
Oefen Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen gratisOefen nu Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallenElke dag 5 gratis opgaven. Geen creditcard nodig.